为了研究变质量系统的动态响应，提出一种基于动量守恒的变质量系统振动分析方法.与现有变质量系统振动分析方法不同，在建立动力系统微分方程时，无需考虑质量变化率对阻尼的影响，而在计算过程中，由某一时刻计算下一时刻系统响应时，考虑质量变化对系统速度的影响，速度变化遵守动量守恒定律.利用算例和实验分别对提出的振动分析方法进行验证，结果表明：该方法可用于变质量动力系统振动分析.

本文基于区域气候模式（RegCM4.3）对我国东南部地区进行降水距平预测，并对预测结果进行误差订正.通过构建以经验正交函数分解、集合经验模态分解和最小二乘支持向量机为基础的非线性误差预测订正模型，对我国东南部地区的模式降水预测误差进行预估，并将误差预估结果订正到模式预测输出结果中.试验结果表明，基于误差场的非线性预估模型可以较好地订正我国东南部地区20个侯和3个月以内的模式预测结果.对比未经订正的结果，订正后的距平相关系数有了较为明显的改善，区域标准化均方根误差有了一定幅度的降低，预估订正模型的效果较为理想.

针对非零远场条件下非线性薛定谔方程的怪波问题，本文给出了一种有效的Crank-Nicolson差分方法.根据远场渐近行为，设定合理的人工边界条件，给出了在该边界条件下质量和能量的定义式，理论上证明了数值格式对质量和能量的守恒.最后，数值算例说明了该格式具有时空二阶精度，同时验证了质量和能量守恒.

基于多层半可分（HSS）结构矩阵的快速算法可有效降低具有数值低秩属性的稠密线性方程组求解的复杂度.采用随机取样和保结构秩显（SPRR）分解相结合的方法替代秩显QR（RRQR）分解可以快速构造HSS结构矩阵.该方法将压缩构造HSS结构矩阵转换成小矩阵计算，减少存储和通信开销，使构造HSS结构矩阵的时间复杂度进一步降低.在分布式机群上采用ScaLapack的二维循环块分布方式存储各矩阵块，将HSS树和处理机网格进行映射.构造HSS结构矩阵的并行算法包括对矩阵的多层块压缩，数据交换和重分布，然后结合并行ULV分解和并行三角求解实现快速并行求解，分析了该并行算法的复杂度.最后以二维电磁散射问题为例，数值结果表明该算法不仅比直接LU分解快一个数量级，而且具有良好的并行可扩展性.

为直接混合插值点，生成插值曲线和张量积型插值曲面，讨论了插值型样条函数.为生成保形插值曲线和曲面，分析了其不同于非插值曲线和曲面的凸包和保凸的具体含义.推导出三次C¹插值型样条函数公式，构造三次C¹插值样条曲线，给出了插值样条曲线的分段Bézier表示.所得三次插值曲线曲面具有几何不变性、凸包性质、局部可调性.讨论了插值曲线的保凸性质及关于插值数据点前后顺序的对称性.展示了具有和不具有保形性质插值曲线和张量积型插值曲面的实例.

基于标量衍射理论，用傅里叶变换的形式表示了空心高斯光束、贝塞尔高斯光束、平顶高斯光束通过环形光阑的衍射场.运用D-FFT算法对其衍射特性进行了数值计算，得到了衍射场中轴向和径向的光强分布.分析了一些光学参数对衍射结果的影响，结果表明衍射特性与衍射距离、光束的阶数、圆环宽度等因素有关.

本文提出一种新的求解Stokes问题的稳定化有限元方法.对于速度场的离散，有限元空间的选取为标准的多项式空间加上多尺度函数.本文证明该方法对于不满足离散的inf-sup条件的最低阶等阶元P₁-P₁元绝对稳定，同时也给出了最优阶误差估计，数值算例验证了理论的正确性.

本文研究了Stokes方程基于混合有限元离散的预处理方法.基于三角形剖分上速度场的连续P₂元以及压力场的P₀元，我们采用局部子区域逆矩阵建立了预处理子.通过分析预处理矩阵的特征值分布，我们证明了该预处理子大大改善原问题系数矩阵的条件数.本文给出了相应的数值结果.

通过有限元空间和有限体积元空间的一种双射投影得到了不可压缩流问题低次等阶稳定有限体积元方法.该方法采用低次等阶元P1-P1（或Q1-Q1）对Navier-Stokes（N-S）方程进行数值求解，利用局部压力投影技术进行稳定化处理.通过有限元和有限体积元方法的等价性进行有限体积元方法的理论分析.发现不可压缩流N-S问题在f ∈ H¹时，稳定有限体积元方法与稳定有限元方法之间具有O（|logh|^1/2h²）阶超收敛逼近结果.将稳定有限体积算法的三种两重网格格式进行了比较分析，发现当粗、细网格尺度比例选取适当时，两重算法具有传统算法相同的收敛速度，而两重算法具有明显的效率优势，并且Simple格式速度最快，Picard格式更适合较小粘性系数问题的数值求解.

为了提高模拟多尺度模型的效率，提出基于降基多尺度有限元的广义特征分解方法.广义多尺度有限元方法是模拟多尺度模型的一种有效方法，在粗网格上构造局部基函数，不仅反映了细尺度上的信息，而且能减少大量的计算量.在广义多尺度有限元方法的框架下，通过交叉验证的思想将多尺度模型映射到降基多尺度有限元空间上，提出基于交叉验证的降基多尺度有限元方法.最后，结合广义特征分解方法和基于交叉验证的降基多尺度有限元方法，将其应用于带参数椭圆偏微分方程的计算.数值例子表明，广义特征分解方法和基于交叉验证的降基多尺度有限元方法相结合，不仅比广义多尺度有限元方法具有更高精度，而且能提高在线计算效率.

本文讨论了Hermitian广义鞍点矩阵的特征值，得到其特征值的分布区间，改进了文献[6]的相关结果.

动力学蒙特卡洛方法是一种随机方法，它将系统的演化过程抽象为状态到状态之间的跃迁，这种方法被广泛地应用到各种材料的演化模拟中.本文采用同步子域方法实现了空位跃迁过程的MPI并行模拟，通过自适应同步时间步长方法，在保证准确性的情况下获得较好并行性能.设计动态添加通信数据的通信方式，有效降低通信开销.数值实验表明，采用同步子域的串、并行方法同原始串行算法结果一致.同时算法在大规模问题的模拟上也表现出很好的并行效率.

炸药驱动飞片实验作为检验炸药爆轰能力的基准实验，在爆轰领域应用广泛，但由于炸药反应迅速、剧烈、不易测量，能够根据现有信息预测炸药驱动飞片实验效果极为重要.然而由于爆轰系统中不确定参数众多，尤其对于精确描述爆轰驱动过程与做功能力都至关重要的爆轰产物状态方程不确定参数，需要量化其不确定性，及不确定性对最终计算结果的影响，才能做出有效预测.本文聚焦JWL状态方程参数，从不确定度量化角度出发，综合利用实验数据与现有数值模拟数据，基于贝叶斯思想量化给出其后验分布.并针对炸药LX-17，评估参数不确定度对整体计算结果的影响，利用参数后验分布预测不同长度飞片与炸药的驱动效果，并评估预测结果不确定度.本文不仅描述了不确定性从状态参数到最终爆轰驱动能力的传播规律，还预测了不同条件下炸药驱动飞片的能力，及其不确定度，为分析不确定度在爆轰系统中的传播特征，提出模拟爆轰驱动的高置信度计算方法，降低系统整体不确定度奠定了基础，也为通过数值实验预测未知爆轰实验效果提出新的方法思路.

研究高分辨率的大分子三维结构，对于分析研究其功能和生物代谢路径具有很重要作用.许多大分子结构可以由低温电镜得到，然而低温电镜三维重构得到的三维结构仍然需要进一步提高其分辨率，所以这些结构仍然需要具体信息.大分子的单独组成部分可以通过结晶、NMR、或者蛋白质结构比较等方法得到.如何将这些高分辨率的组成部分正确装配到大分子结构中是一个很复杂的问题.该问题的实质可以理解为图像处理.在生物大分子的装配过程中，大部分研究者都会用到特征点的方法.现有的研究方法几乎都是基于几何体内的特征点，本文提出一种新的基于蛋白质和低温电镜密度图的表面高斯曲率的方法结合优化模型，对该问题进行研究.数值实验表明，我们的方法是有效的.

全波形反演是一种利用地表或井中观测到的波场来推测地下物性参数的高精度成像方法.本文研究了频率域声波方程全波形反演的数值方法.正演用带PML边界条件的九点差分格式求解.反演是一个极小化模拟数据与观测数据之间残量的优化迭代过程，文中比较了多种数值优化方法，包括最速下降法、共轭梯度法、LBFGS方法、高斯牛顿法以及预条件方法.反演从低频到高频逐级进行，且前一个频率的反演结果作为下一个频率反演的初值，该策略有效克服了反演发散或收敛到局部极小值的情况.文中详细描述了正反演方法，并对一个简单模型和两个国际标准模型（即Marmousi模型和Overthrust模型）进行了MPI并行反演计算，结果表明牛顿方法和预条件方法能较精确地对复杂构造模型进行反演成像.

数值模拟是行星流体动力学研究的主要工具.本文介绍CPU-MIC异构众核平台的行星流体动力学数值模拟，计算并模拟地球外核的磁流体运动.本文在已有工作的基础上^[1-3]，添加了CPU-MIC异构众核环境的数值模拟支持.首先描述了CPU-MIC异构众核环境的上的数值模拟流程，然后给出了MIC上的分布式并行GMRES（m）众核解法器的实现算法.其次，实现了解法器的计算核心稀疏矩阵向量乘（SpMV）在MIC上的分布式并行算法，该SpMV实现了计算-通信重叠、数据传输-计算重叠.再次，为加速行星流体动力学方程收敛，给出了MIC上以SpMV为基本操作的分布式并行多项式预条件子.最后，提出了一些MIC众核平台的优化措施，如多线程、流存储和数据传输优化等.天河2号数值模拟表明相比CPU版的数值模拟， CPU-MIC异构众核环境下数值模拟在单MIC卡和64块MIC卡分别取得了6.93和6.0倍的加速比.

本文针对一类含弱奇异积分核的高振荡积分
∫_a^b（ln（x-a）ln（b-x）/（x-a）^α（x-η）（b-x）^β）f（x）e^iωxdx，
其中0 < α < 1， 0 < β < 1， η∈（a，b）， f（x）在区间[a， b]中解析，提出一种数值积分方法.在该方法中，高振荡积分处理主要分为两部分，一部分采用渐进展开方法处理，另一部分使用n点Guass-Laguerre积分计算.在渐进展开中，每次展开产生的弱奇异性采用构造函数来处理，而渐进误差是频率ω幂次方的倒数.数值算例验证了该方法的有效性.

本文通过周期型的希尔伯特变换得到拉普拉斯算子的一种表达形式，并给出一个正算子的表达形式.根据该算子和热方程给出一个新方程，并修改成有各项异性的方程，并用该各项异性方程进行数字图像的修复实验.从客观数据和修复效果两方面说明，模型在图像修复方面有一定效果.

本文采用Legendre Galerkin-Chebyshev配置方法求解广义空间分数阶Burgers方程.该方法基于Legendre Galerkin变分形式，但是非线性项与右端源项采用Chebyshev-Gauss插值逼近.首先，通过在空间方向采用Legendre Galerkin-Chebyshev配置方法离散，时间方向采用leap-frog/Crank-Nicolson格式离散，得到了方程的全离散格式，其中非线性项能够显式计算.接着，给出了稳定性分析及L²-范数下的误差估计.数值算例显示该方法的稳定性，高效性及易实现性.

本文利用紧致算子和修正的辛中点格式构造了Klein-Gordon方程初值问题的保结构算法.该紧致辛中点格式在时间方向具有二阶精度，在空间方向具有六阶精度，保持离散的辛结构，是线性稳定的算法.另外，该算法保持线性系统的离散能量，而对非线性系统，该算法满足一个离散能量的转移公式.数值算例验证了理论分析.

二次正交Arnoldi方法的存储量小并能保持与标准Arnoldi方法类似的数值稳定性和收敛性，因此成为求解二次特征值问题的重要方法.算法的运行过程中计算量和存储量会不断增加，将算法进行重新启动是算法在实际使用中的必然需求，该方法的特殊分解形式对算法的重启提出了新要求.本文分析了该方法所形成子空间的性质和重启时子空间应具有的形式和性质，提出了一种能够保持算法特殊子空间结构且简便易实现的重启方法.在此基础上分别使用Schur分解、准确位移与精化位移，给出了三种二次正交Arnoldi方法的重启算法.理论分析和数值算例都表明，这些新的重启算法在最大存储量固定的情况下具有很好的可行性与有效性.

本文讨论了一种求解二维反应扩散方程组的高精度谱配置方法.考虑边界条件为齐次Neumann边界，在空间上采用Chebyshev谱配置方法离散，得到非线性常微分方程组（ODEs）.在时间方向上，采用紧致隐式积分因子方法求解.该方法结合了谱方法和紧致隐式积分因子方法的特点，具有精度高，稳定性好，存储量小以及计算时间快等优点.最后给出数值算例验证了该方法的有效性.

运用非定常Navier-Stokes（N-S）方程有限体积算法及非结构动网格技术对X-37B飞行器着陆流场进行数值模拟，比较了飞行器在拖挂阻力伞和不拖挂阻力伞两种情况下的流场差异.模拟以混合网格有限体积方法为基础，控制体方程采用N-S方程组，流场计算空间离散采用格点格式，通量计算格式采用Roe，时间离散采用LU-SGS理论和二阶时间精度的双时间步长，湍流模型采用两方程SST湍流模型.动网格技术采用线性弹簧理论处理阻力伞在摆动时流场的变化.阻力伞模型采用中间带气孔的C-9圆锥型降落伞外形，但规模有所缩小，以便适应飞行器.模拟比较了两种情况下着陆流场的差别，并主要比较了两种情况下阻力的差别，从而证明飞行器在拖挂阻力伞的情况下更容易减速着陆.

直接搜索是数值最优化中的重要思想.DIRECT算法是基于直接搜索思想的一个流行的全局优化算法.本文首先回顾了新近提出来的一个具有三水平直接搜索框架的全局优化算法MrDIRECT，着重回顾了MrDIRECT算法是怎样消除DIRECT算法的“渐近无效”行为的，并为此提供了更多的数值证据.然后，本文提出了一个具有四水平直接搜索框架的MrDIRECT算法，讨论了其收敛性，并对之进行了大量的数值测试.我们的目的是检验水平数的增加对算法效率的影响.结果表明，水平数的增加带来的数值效果的改善并不足以抵消计算成本的增加，总体数值效果不如三水平MrDIRECT算法.最后，本文指出MrDIRECT算法采用的多水平直接搜索框架的重要优势是，能够很灵活地平衡局部搜索和全局搜索，从而可用于设计更多的多水平直接搜索全局优化算法.本文验证的水平数增加未必带来整体数值效果的改善这一结论也可用于指导这类算法的设计.

针对多介质各向异性扩散方程，本文设计了一种非结构多边形网格高精度有限体积计算格式.为了能适应网格大变形，在构造格式框架时除了用到单元中心量外还引入了节点量作为中间变量，并通过推广孪生逼近算法于各向异性扩散系数情形消除节点量，使算法回归于单元中心量计算流程.数值算例表明，该方法能较好适应大变形网格及间断系数各向异性扩散方程计算.