研究了一类线性方程组系数矩阵的红黑排序方法,以及由红黑排序矩阵导出的舒尔补矩阵的条件数.利用三对角矩阵的特征值分析方法推导了一类块三对角矩阵的特征值和条件数,构造了三对角矩阵和块三对角矩阵的红黑排序排列矩阵,利用矩阵相似变换推导出红黑排序矩阵中的舒尔补的特征值和条件数表达式.理论分析和数值试验结果均表明这类舒尔补矩阵具有更好的性质.

小波方法在微分方程数值解法中日益得到广泛应用.由于小波的紧支性、正交性使得离散后的代数方程组的系数矩阵具有稀疏性、层次性,在此基础上可以构造各种快速算法.基于多尺度空间,采用一组正交小波基来离散原方程,导出方程组的系数矩阵具有稀疏性和层次性,从而提出求抛物型微分方程的Galerkin多层修正迭代算法,并讨论了迭代修正算法的收敛性.提出的方案能容易地实现时间和空间方向的局部加密自适应修正过程.提供的数值算例说明了方法的有效性.

通过引入一个从样本空间到特征空间的核映射,从而将样本空间中的分类问题与特征空间中的聚类问题联系起来.为获得样本空间中的一组合适的属性权重值,提出了一种基于核映射的自适应优化配置属性权重组的方法.在特征空间中根据"聚类之内的数据点最大限度的相近,聚类之间的数据点最大限度的相离"这个原则,提出了一个带约束的混和目标函数,通过优化这个混和目标函数来获得样本空间中的一个合适的属性权重组.为求解这个混和目标函数,提出了一种基于负投影梯度的自适应优化配置属性权重组的方法.接着采用UCI的两个标准数据集来进行实验验证,可以证实这种根据给定数据点集进行自适应优化配置样本空间中的属性权重组方法的有效性.最后给出了两种自适应优化目标函数权重参数和核函数参数的方法.

混沌微粒群优化算法利用了粒子群优化算法收敛速度快和混沌运动所具有的随机性、遍历性和初值敏感性,将混沌状态引入到优化变量中,把混沌的遍历范围映射到优化变量的取值范围.在算法执行过程中对优秀个体混沌扰动,有利于跳出局部极值点,搜索到全局最优解.分别用微粒群优化算法和混沌微粒群优化算法求解函数优化问题,对算法的性能进行检验,检验结果显示:混沌微粒群优化算法搜索全局最优解的成功率和收敛速度都要优于微粒群优化算法.将混沌微粒群优化算法与阈值法相结合,在算法初始化阶段对粒子位置混沌初始化;在算法运行期间对优秀个体进行混沌扰动避免落入局部最优,较好地解决了传统的多阈值图像分割方法中运算量大的问题.实验结果表明,混沌微粒群优化算法用于阈值寻优减少了搜索时间,提高了收敛率.

基于求解线性代数方程组的共轭梯度法的思想,通过特殊的变形与近似处理,建立了求矩阵方程AXB=C的双对称最小二乘解的迭代算法,并证明了迭代算法的收敛性.不考虑舍入误差时,迭代算法能够在有限步计算之后得到矩阵方程的双对称最小二乘解;选取特殊的初始矩阵时,还能够求得矩阵方程的极小范数双对称最小二乘解.同时,也能够给出指定矩阵的最佳逼近双对称矩阵.算例表明,迭代算法是有效的.

考虑了对角分裂Runge-Kutta法求解非线性变延迟中立型微分方程的收缩性。证明了在最大范数下这类方法能够保持非线性中立型延迟微分方程系统的收缩性。数值试验验证了上述理论结果。

对一维抛物型方程初边值问题的求解,以往已经有一些数值解法,它们或者无条件稳定但精度不高,或者精度高但仅为条件稳定,且稳定性条件严格.另外,以往的差分格式在处理第二、第三类边界条件问题时,对带导数边界条件都是进行简单的差分逼近,影响了数值解的精度.因此构造一个无条件稳定且对各类边值问题都具有良好精度的数值方法具有重要意义.为此,基于子域精细积分思想,结合三次样条函数,提出了求解一维抛物型方程初边值问题含参数的样条子域精细积分格式.该格式为绝对稳定且精度很高.由于三次样条函数的采用,避免了通常有限差分法中处理带导数边界条件时产生的逼近误差,大大提高了求解第二、三类边界条件问题时的精度.

介绍了一种MPI程序死锁检测的静态方法以及该方法所处理的程序模型.为实现该方法,提出了比例方程组(一种特殊线性方程组)的概念并设计了求解方程组最简解的线性时空复杂度的高效算法.算法由一个四遍扫描过程与一个主控程序构成.主控程序用来处理并行计算节点计算机构成的划分.四遍扫描过程采用深度优先搜索方法确定方程组中各变元之间的比例关系.通过该算法所获得的最简解,任意多个变元之间的比例关系能在常数时间内获得.证明了该算法的正确性,并采用Java语言实现了该算法的标准程序库.该程序库目前已运行于MPI同步通信静态死锁检测的软件框架中.

以交通工具中部分锥形薄壁方管的安全装置作为研究对象, 建立以薄壁管在碰撞过程中吸收能量最大化,比吸能最大化和初始碰撞力峰值最小化为多目 标的优化问题.用锥形部分的几何参数作为设计变量, 在保证不降低薄壁管吸能能力的情况下, 通过对其结构的优化达到初始碰撞力峰值 最小化的目的.论文采用有限元软件LS-DYNA得到不同几 何参数模型的碰撞信息,用响应面法构造近似函数, 同时引入权系数以表征各个目标在优化问题中的重要程度, 并采用理想点法求解多目标优化问题,分析了锥形薄壁方管各几何参数对结构的能量吸收、比吸能和初始碰撞力峰值的影响,最终得到 了给定权系数下的最优模型.

对解非线性方程组Newton迭代格式进行了改进, 得到了两种比Newton法较为宽松的并且 收敛速度较快的新的迭代格式.从而构造了两种新的Newton型迭代法.理论分析和数值实验证明这两种方法是稳定且有效的.

本文首先定义了线性多步法基本公式的概念, 并应用MATLAB的符号运算, 推导了求解常微分方程初值问题的2-7步法全部基本公式, 其系数全部为精确的分数形式; 利用关于线性多步法公式的收敛条件, 筛选出其中收敛的公式, 计算出了公式的误差主项系数, 阶数,绝对稳定区间.

建议一种适用于具有细观结构新材料宏细观间跨尺度分析的细观元方法.细观元法 在结构的常规有限元内部设置密集细观单元以反映材料细观构造, 又通过协调条件 将各细观元结点自由度转换为同一常规有限元自由度, 再上机计算. 此方法可实现 材料细观结构到构件宏观响应的直接过渡分析,而计算单元与自由度又等同一般常 规有限元,为解决具有细观结构新材料与构件跨尺度分析提供一种新的有力工具.研究了直接从制备时给定的材料组分分布及网状细观结构图形出发计算功能梯度板件宏观响应,给出了不同边界条件功能梯度板件的力学量三维分布形态以及细观结构局部突变引起宏观等应力线图的畸变.

该文针对预处理共轭梯度法求解Hermite正定的Toeplitz线性方程组, 提出了新的含参预因子.该预因子可视为对T.Chan预因子的推广,但又不同于M.Cai 等推广的预因子. 我们分析了含参预因子的谱性 质及其求逆的运算量. 指出:在一定条件下,经过简单的参数选择,与该预因子对应 的预处理共轭梯度法优于上述提及的另两种预因子的 对应方法. 数值实例亦验证新的预因子在一定条件下的优越性.

将Toeplitz矩阵分解为一个循环矩阵和一个下三角Toeplitz矩阵之和, 以及一般卷积向循环卷积的转化, 借助快速Fouier变换(FFT), 导出了一种计算两个$n$阶Toeplitz矩阵乘积的新快速算法, 其算法复杂性为$2n^2+{63\over 4}n\log_2n-15n-34$次实乘运算, $4n^2+{63\over 2}n\log_2n-18n+23$
次实加运算, 与已有的优化算法相比, 在实乘次数有所降低的同时, 实加次数降低了近${1\over3}$, 是目前复杂性最小的一种算法.

B-收敛和D-收敛的概念被推广到了变时滞微分代数方程问题,给出了$D_A$-收敛的定义,讨论了该类问题的$D_A$-收敛性,并给出了相应的误差估计,证明了如果G-稳定的单支方法对于常微分方程初值问题在经典意义下是p阶相容的且$\frac{\beta _k}{\alpha_k}>0$,那么具有线性插值过程的该方法是p阶$D_A$-收敛的,这里p=1或2.

图排序问题在众多领域中有着重要应用. 本文利用多层次思想, 提出一种具有V-循环结构的新算法. 该算法是一种线性时间复杂度的方法. 在文中的4个算例中, 这种多层次方法所得到的排序质量至少比谱方法高5\%. 本文把它应用到图剖分领域, 利用KL/FM方法对其进行了局部修改, 得到了两种新 的图剖分算法. 在文中的4个算例中, 这两种方法都能提供与当前质量最佳算法相当的图剖分结果.

对抛物问题的全离散格式采用Mortar型有限元逼近, 构造了相应的瀑布型多重网格法,证明了该方法的最优性.

椭圆函数是一种特殊的双周期复变函数, 广泛应用于工程问题中, 尤其非线性问题中居多. 在工程中遇到的椭圆函数以二阶椭圆函数为主, 而且很多复杂的椭圆函数都可以通过变换由二阶椭圆函数得到. 二阶椭圆函数包括Jacobi椭圆函数和Weierstrass椭圆函数. 它们都可以进行幂级数展开, 直接计算很不方便. 椭圆函数的重要性质之一就是具有加法定理, 因此可利用精细积分法求解. 虽然椭圆函数的精细积分算法在精度和效率上取得了较大成功, 但椭圆函数的奇点问题仍然存在并对计算精度构成一定威胁. 在回顾并分析椭圆函数的精细积分算法的基础上,通过对椭圆函数奇点的分析, 给出了椭圆函数可去奇点的近似公式, 并在此基础上进一步改进并完善了椭圆函数的精细积分算法.

指数时间差分方法是近年来提出求解刚性常微分方程的一种新的数值计算方法. 指数时间差分方法是一种积分方法,而不是经典的差分方法.
利用指数时间差分方法求解扩散方程,如一维拟线性对流扩散方程和Allen-Cahn扩散方程. 扩散方程在空间方向离散后转化成刚性常微分方程. 用显式指数时间差分方法和相应阶的显式 Runge-Kutta方法求解刚性常微分方程. 数值结果表明显式指数时间差分方法具有相同阶的显
式Runge-Kutta方法相应的精度,稳定性显著提高,而且能很好地模拟扩散方程的演化行为. 指数时间差分方法可用于刚性常微分方程的数值计算.

对无约束优化问题的二次插值型直接搜索算法中初始插值半径,信赖域初始半径， 位移接受准则和信赖域半径调节参数进行了数值实验分析.
数值实验表明解无约束优化的基于二次函数插值型的直接搜索算法对初始插值半径和信赖域初始半径比较敏感，对位移接受准则和半径调节参数不敏感. 根据数值实验结果推荐初始插值半径的选取应与信赖域初始半径相等,同时 给出了基于二次插值型的直接搜索算法中初始插值半径与信赖域初始半径的选择区间和其它参数的推荐值. 这些结果对这类算法的数值实现和工程应用是有益的.

通过分析三次有限元空间与线性有限元空间之间的关系，提出了一种求解三维椭圆问题三次有限元方程的两水平方法. 然后，通过调用现有的代数多层网格 (AMG)法求解粗水平方程，建立了求解三次有限元方程的AMG法，并对其收敛性进行了严格的理论分析. 数值实验结果表明，本文设计的AMG方法对求解三维椭圆问题三次有限元方程具有很好的计算效率和鲁棒性.

利用Sherman-Morrison-Woodbury公式导出了求解周期三对角Toeplitz方程组的一 种新的修正算法.该算法的计算量比求解周期三对角方程组的追赶法要少，且可以 并行计算.对新算法进行了可行性和稳定性分析.数值算例表明了新算法的有效性

应用位势理论把Helmholtz 方程内问题转化为含有 Cauchy 奇性的第二类积分方程的求解问题.并利用 Nystom 方法求得数值结果, 试验结果表明了此方法的简单与有效性

研究离散纵标动态中子输运方程迭代求解时，迭代初值的不同选取方法，设计合理的迭代初值可以适当放宽对时间步长的限制，缩短计算时间. 设计四种迭代初值并应用于数值求解中的等比格式和菱形格式，其中等比格式形成非线性离散方程，菱形格式形成线性离散方程.考察不同迭代初值的计算效率，分别对物理量变化平缓以及变化剧烈的问题进行考察.数值算例表明构造的基于物理量随时间走势的预估值作为迭代初值优势明显，这在保证计算精度的前提下提高了数值计算效率.

给出了求解二次特征值问题多个特征对的一种并行Jacobi-Davidson方法, 该方法在子空间中求解投影矩阵的二次特征值问题,利用校正方程的解扩充子空间, 并以某型号机翼在结构动力分析中的二次特征值问题为例, 在多处理机并行系统IBM-P650上进行了数值试验,试验结果表明该算法具有较高的加速比和并行效率.