由于非局部模型能够描述某些重要物理现象产生的奇性和间断机制，近些年来在很多领域受到广泛应用并对相关学科的发展产生了强有力的推动作用.反常扩散模型作为一个重要的非局部模型，常用于描述反常扩散等现象.非局部模型的非局部性和多尺度特征不仅推动了新的数学理论的发现，而且为现有的离散和局部连续模型及其联系提供了新的视角.尽管已经有很多成果，但无论是从数学方法和基础理论还是数值方法角度来看，多尺度非局部和反常扩散模型都有广阔的研究空间.进一步发展和完善基础数学理论和方法，在真实的解正则性条件下发展新的高效数值格式，尤其是具有稳定、收敛、满足渐近兼容的数值格式是一个研究重点.在过去的几年里，本文作者一直致力于非局部模型的数学理论和数值方法研究，在人工边界条件设计、非局部极值原理和渐近兼容的数值格式等方面，取得了一些有意义的研究成果.在反常扩散方程的数值分析方面，发展了Caputo导数的快速算法和离散分数阶类型的Grönwall不等式，并提出了误差卷积结构的思想来表示局部相容误差，为一类常用变步长数值格式的最优误差估计提供了一些基础分析框架.要完全解决非局部和反常扩散模型中的各种数学问题还有相当长的距离，需要进一步深入研究.希望本文能为推动多尺度非局部模型和反常扩散模型的基础理论和算法的深入发展起到抛砖引玉的作用.

中国的含油气地层分布广泛，但地质结构复杂，天然能量不足，开采难度高.油藏数值模拟方法与软件是油藏工程师对油藏进行分析和管理的重要工具，是油气藏开发后期确定剩余油分布、挖掘生产潜力和提高采收率的主要手段之一.精细地质模型可以达到很高的空间分辨率，导致网格数目巨大，模拟难度大、代价高，这给数值算法研究带来很多新挑战.本文以一个简化组分模型为例，简单介绍了其数学模型、离散方法、求解方法、并行计算和软件实现，其中着重介绍了几种被工业级软件采用的预条件方法和解耦方法.

趋化运动是细菌寻找食物、逃离有害物质的核心机制. 对于多细胞生物来说, 趋化运动对其发育和健康更是至关重要. 随着对趋化运动越来越多生物细节的理解, 其数学模型也越来越完备和复杂. 本文以大肠杆菌的趋化运动为例, 回顾了三个不同尺度的模型：上个世纪70年代提出的Keller-Segel模型, 80年代末提出的的速度跳跃模型以及本世纪初提出的含信号通路的动理学方程模型. 我们回顾近30年来这些模型提出的背景、建模思想、分析得到的关于解行为特性的一些主要结论, 以及相关数值算法, 并探讨不同尺度模型之间的联系和区别.

高性能计算的核心目标是追求极致的计算性能.本文对高性能计算在硬件工程、软件工程、性能工程三个阶段需要攻克的核心技术难题进行了总结,并且重点针对E级计算发展趋势下实现复杂应用负载与多样异构系统之间高效适配存在的性能可移植挑战,阐述了性能工程的相关概念和研究意义,最后讨论了当前性能工程涉及的三大关键技术:模式驱动的性能建模方法、输入感知的智能调优引擎、统一抽象的软硬件代码生成.

由于随机方差缩减梯度（SVRG）法在求解经验风险最小化（ERM）问题时表现优异，近年来受到了广泛关注.与SVRG方法中使用固定的学习率不同，结合初始化偏差矫正技术，提出使用自适应方法来动态计算SVRG方法及其加速版本FSVRG方法的学习率，分别称为AdaSVRG方法和AdaFSVRG方法.收敛性分析表明，AdaSVRG方法和AdaFSVRG方法在强凸假设下均具有线性收敛速率.在标准数据集上的数值实验表明，在求解ERM问题时，AdaSVRG和AdaFSVRG需要更少的迭代次数就可以达到相同水平的优化间隙.

稀疏优化是最优化学科近十余年发展起来的一个崭新分支.它主要研究带有稀疏结构特征的优化问题，在大数据分析与处理、机器学习与人工智能、信号与图像处理、生物信息学等学科领域有广泛应用.然而，稀疏优化属于非凸非连续优化，是一个NP-难问题.一直以来，人们通常采用一阶算法求解大规模稀疏优化问题，并取得了丰富成果.为提高计算速度和求解精度，人们近几年创新发展了若干计算花费少的二阶算法，本文主要介绍与评述其研究进展，奉献给读者.

最小二乘渐进迭代逼近（LSPIA）是一种有效的大规模数据拟合方法.针对LSPIA的加速问题，基于Newton迭代法，本文提出曲线曲面的两类最小二乘渐进迭代逼近格式.首先构造一个以控制顶点为变量的多元函数，其Hessian矩阵为正定矩阵，多元函数存在极小值，且其极小值所对应的控制顶点与LSPIA的收敛结果一致.对多元函数极小值问题，采用Newton迭代法进行求解.然后对Newton迭代格式中的Hessian矩阵和调整向量分别采用奇异值分解法和共轭梯度法求解，从而给出两种LSPIA迭代格式，分别记为NLSPIA和INLSPIA.最后给出两种迭代格式收敛性的理论证明.数值实例验证了文中方法的有效性和可行性，也表明了在相同条件下，NLSPIA与INLSPIA的收敛速度和计算时间都优于经典LSPIA.

迭代方法是求解大规模线性和非线性问题的主要方法.由迭代方法产生的向量序列的收敛速度直接影响方法的应用效果.为了提高向量序列的收敛速度，可以采用向量序列的迭代加速算法.目前，针对向量序列加速收敛的算法主要包括两类：基于外插类的方法和基于Anderson加速的方法.外插类加速方法通过对于原序列进行变形，以获得新的向量序列，使新的向量序列的收敛速度比原序列更快.典型的外插类方法有最小多项式外插（MPE）方法，修正的最小多项式外插（MMPE）方法，降秩外插（RRE）方法，拓扑ε算法（TEA），向量ε算法（VEA）等.Anderson加速方法结合不动点迭代格式，利用迭代过程中残差序列的信息构造新的迭代序列.本文选取RRE方法作为外插类加速方法的代表，与Anderson加速方法进行比较，并重点通过几类典型应用进行测试和分析.结果表明，Anderson加速方法和RRE方法均可提高向量序列的收敛速度，并且Anderson加速方法比RRE方法更为稳定和有效.

广义重心坐标能把多边形内任意一点表示为其顶点的线性组合，因此广泛应用于计算机图形学等领域.本文用渐进逼近的思想计算广义重心坐标.给定多边形及其内一点，首先将多边形映射到以该点为圆心的单位圆上，依次连接映射到同一圆上的各边中点，形成新的圆内接多边形.然后构造以多边形相邻两个点为顶点，其余点的加权和为另一顶点的三角形，并在该三角形内创建初始迭代点.由三角形顶点及各边中点生成三条有理Bézier曲线.通过曲线调整迭代点的位置，达到逐步缩小其与待求点距离的目的.最后通过回代求出待求点的重心坐标.实例表明，迭代逼近坐标具有非负性和光滑性等良好的性质.

解线性方程组预条件子算法已在求解偏微分方程(PDE)的离散代数系统的高性能计算中取得巨大成功. 相比之下, PDE 特征值问题本身的高效快速并行的潜力目前远未发挥.根据代数基本定理可知, 通过因式分解, 任意一个一元 n 次实特征多项式可分解为若干个低次实多项式(如二次）或一次实多项式的乘积, 因此, 利用PDE方程的特征变换(如Fourier变换等)作预变换 有可能把离散的高阶广义特征值问题直接解耦分解为一批低阶广义矩阵特征值的并行计算. 本文以三次 Hermite 插值有限元为例, 提出求解一类离散椭圆PDE 广义特征值的二次解耦算法。新算法不但 降低了常规算法 (先把广义特征值问题化为普通特征值问题, 再分解为 n 个一次多项式乘积)的计算复杂度, 性能提升明显, 而且能有效判别与防止伪特征值的出现(Spurious free无伪解).

GCRO-DR方法是求解一系列连续线性系统常用迭代方法.本文首先提出了~simpler GCRO-DR方法,在单个循环中它的计算成本比GCRO-DR更少.本文为了避免算法的不稳定性问题和内存溢出问题,并提高~simpler GGRO-DR算法的收敛性,引入了重启参数自适应策略.另外,在用该方法求解大型连续线性系统需要多次重启次数情形以及相邻系数矩阵之间谱信息相关情形,本文利用重启参数自适应策略提供的学习样本,通过强化学习来选取一个比较好的重启参数.最后,数值实验证明了所提三类算法的有效性.

本文提出一个求解复合凸优化问题的非精确多层梯度镜面下降算法.该算法允许目标函数中光滑部分梯度计算和非光滑部分邻近算子计算都存在误差，在适当条件下分析了该算法函数值误差序列的O（1/k²）收敛速度，这里k表示迭代次数.最后关于Lasso问题和Logistic问题的数值结果表明该算法是有效的.

贪婪随机坐标下降法是当前提出的求解最小二乘问题的有效方法.本文通过引入“残量最大下降指标”，给出了贪婪随机坐标下降法的修正版本及一个有效的两步混合加速算法.同时，将这些改进的有效算法用来求解带有Einstein-积的张量方程.理论及数值实验都充分验证了所提出算法的可行性和有效性.

本文对二阶椭圆方程特征值问题的弱伽辽金谱元方法开展相关数值研究.与弱有限元方法类似，弱伽辽金谱元方法的逼近函数空间包括各个单元上的独立内部分量、并辅以各单元边界分量作为单元与单元间的联系.本文聚焦任意凸四边形网格剖分下的弱伽辽金四边形谱元方法，弱逼近函数中的各内部分量与边界分量分别由参考正方形单元与参考单元边界上的正交多项式通过双线性变换来构造；而弱梯度逼近空间则由参考正方形上的正交多项式通过Piola变换构造.在此基础上，本文提出了二阶椭圆方程特征值问题的弱伽辽金四边形谱元方法逼近格式和实现算法，并通过对离散弱梯度核空间的系统研究，具体分析了逼近格式的适定性.通过大量的数值实验，本文具体分析了弱伽辽金四边形谱元方法的精度和收敛性，特别是逼近函数空间与离散弱梯度空间中多项式次数的不同搭配对精度和收敛性的影响.研究表明，p-型弱伽辽金四边形谱元方法承袭了谱方法的指数阶收敛性质；h-型弱伽辽金四边形谱元方法不但具有h-型方法在通常意义上的满阶收敛性，而且完全可以通过逼近空间多项式次数的灵活匹配达到超收敛.

反应扩散方程在物理、化学和生物等领域有着重要的应用. 以往的工作主要在矩形区域上考虑求解, 本文研究圆形和环形区域上求解反应扩散方程. 首先将反应扩散方程写成极坐标形式, 利用二阶有限差分方法在空间r 方向和θ方向分别进行离散. 将网格上的数值解以矩阵形式表示, 并且将微分算子离散成矩阵形式, 从而得到紧致形式下的非线性常微分方程组, 然后应用隐积分因子方法求解该非线性常微分方程组. 紧致隐积分因子方法不仅降低了存储量, 而且在每一个时间层只需要求解局部的非线性代数方程组. 最后给出数值算例, 选取带有精确解的反应扩散方程以及Schnakenberg模型, 在圆形和环形区域上求解反应扩散方程组, 数值结果显示该方法能够快速且准确地计算.

本文在Tseng外梯度算法的基础上,引入了一种求解双层集值混合变分不等式的惯性外梯度算法.该算法的步长是非单调自适应的,结合惯性加速技巧,在集值映射是单调且Lipschitz连续的假设下,证明了该算法所产生的序列强收敛到双层集值混合变分不等式的解,进行的数值实验表明惯性外梯度算法优于一些已有的算法.

本文提出了三阶偏微分方程的时空间断Galerkin谱方法.该方法在空间方向上采用局部间断Galerkin谱方法，即在每个子区域上，该格式按Legendre-Galerkin谱方法形成，子区域交界面处的跳跃项利用数值流量进行处理.在时间方向上采用多区域Legendre-tau谱方法.文中将该全离散格式分别应用到线性与非线性方程中，并分别给出了数值算例.理论分析部分给出了三阶线性偏微分方程在全离散格式下的收敛性分析.

针对低剂量CT成像问题，本文提出了一个基于广义惩罚加权最小二乘的低剂量CT重建方法，并在一定条件下建立了算法的全局收敛性定理.首先对投影数据进行统计建模构建广义加权最小二乘保真项，并且将二次先验信息引入投影数据的恢复过程中，从而达到抑制噪声的目的，最后使用经典的滤波反投影算法对恢复后的投影数据进行解析重建.实验结果表明，与惩罚加权最小二乘方法相比，新方法可以有效地抑制低剂量CT图像中的噪声和伪影，同时可以很好地保持图像的结构信息和空间分辨率.

研究了变系数偏微分方程的Galerkin KPOD（Krylov Enhanced Proper Orthogonal Decomposition）模型降阶方法.首先基于Galerkin有限元理论建立变系数偏微分方程的空间离散格式，得到具有时变系数矩阵的常微分方程组，并对该常微分方程组应用KPOD模型降阶方法进行降阶并求解.其次，对降阶投影算子进行了分析，给出了Galerkin有限元解与GalerkinKPOD降阶解之间的误差界.最后用数值算例验证了变系数偏微分方程的Galerkin KPOD模型降阶求解方法的可行性，通过有限元离散解与GalerkinKPOD降阶解、GalerkinPOD降阶解之间的误差比较，体现GalerkinKPOD降阶方法的优势.

针对任意四边形网格上扩散方程已有的九点格式, 引入适当的限制器进行改写, 证明了所得到的非线性格式具有强保正性, 且该非线性格式的解若存在的话即为九点格式的一个正的解. 并进一步讨论了保持离散强极值原理的格式.

给出一种非结构网格上针对间断有限元方法的初值重映流场收敛加速技术框架, 以提高气动优化过程中间断有限元方法的收敛速度, 减少优化过程所需时间. 在保持网格拓扑结构不变的前提下, 通过从给定的参考单元到物理域上每个网格单元的一一映射, 在不同外形的网格上相应单元之间建立局部的一一对应关系; 每次更新外形时, 将当前外形的数值解重映到新外形的网格上作为初值, 以加快间断有限元方法的收敛速度. 将该技术应用于三角形网格上的翼型优化设计问题, 取得了很好的效果, 对于三阶间断有限元方法能够减少超过70%的计算时间.

Poisson-Boltzmann方程是一类带有Dirac分布源和间断系数的偏微分方程，本文主要研究一类线性的Poisson-Boltzmann方程的虚单元法.首先对Poisson-Boltzmann方程进行分解，将原方程转化为一类非奇性正则化Poisson-Boltzmann方程来求解，接着设计了相应的虚单元法.理论上给出最低阶虚单元法在H¹范数下的最优误差估计.数值算例验证了理论分析的收敛阶，同时也说明了利用虚单元法可以实现线性Poisson-Boltzmann方程在多边形网格上的求解.

本文基于均值的增广拉格朗日乘子算法，提出了一种快速且具有较高精度的Toeplitz矩阵填充算法.新算法一方面通过均值结构化处理保证迭代后产生的填充矩阵是可行的Toeplitz矩阵，另一方面通过在迭代过程中嵌入修正步而极大地节约了计算时间，得到了更精确的填充矩阵.同时讨论了新算法的收敛性，最后通过数值实验表明新算法比基于均值的增广Lagrange乘子算法（MALM）和增广Lagrange乘子算法（ALM）在时间和精度上均有改进.

PM2.5污染问题是中国近年来引起广泛关注的环境问题,对PM2.5浓度进行预报有重要意义.传统的预报方法是基于空气动力学理论的数值模式预报方法.最近几年深度学习方法被广泛应用于PM2.5浓度预报问题.之前的深度学习预报方法主要是使用观测站的观测数据建立单点式的预报模型.本文使用ConvLSTM深度神经网络建立模型,在中国及周边区域的PM2.5数据集上实现了网格化的序列到序列预报.模型通过卷积模块提取空间特征,通过LSTM模块提取时间特征,适合解决PM2.5网格化预报问题.同时,模型中使用了再分析数据和模式数据两种不同来源的数据结合起来进行预报,融合了深度学习方法和传统数值模式方法.实验表明,模型的均方根误差比数值模式预报下降30.2%,具有良好的预报效果.

混合撕裂有限元法(Hybrid Total Finite Element Tearing and Interconnecting method,HTFETI)适用于求解结构力学、热力学等问题,是一种非重叠的区域分解方法,适用于大规模求解.但是在异构计算平台上对反应堆堆芯组件进行数值模拟时,采用混合撕裂有限元法会出现进程内和进程间的负载不均衡现象.在混合撕裂有限元求解器中,最主要的计算是稠密矩阵向量乘.针对进程内和进程间出现的负载不均衡现象,本文实现了动态负载均衡技术,充分利用了节点内和节点间的处理器资源,加快求解速度.最后,本文通过数值实验验证了上述优化技术能够加快混合撕裂有限元法的求解速度8.2\%$\sim$9.4\%.

Laplace变换的数值反演是一个病态问题.采用代数精度较高的数值积分近似Laplace变换截断积分，合理选取复平面上样本点以形成离散线性代数方程组是解决这个问题的途径之一.本文采用代数精度较高的复化Gauss-Legendre数值积分近似Laplace变换截断积分，推导了一种Laplace变换数值反演算法.其间，对于所形成的条件数很大的线性方程组采用基于约化奇异值分解的最小二乘法进行求解，以尽可能降低数值解的误差.使用该算法对简单测试算例进行数值反演，并将其结果与精确解进行对比，结果表明，相比经典的Gaver-Stehfest方法和基于Gauss-Legendre积分的方法，本文推导的反演算法可以达到满意的数值精度.同时，结合该算法采用半解析半数值方法对一个较为复杂的冲击凿岩问题的数值反演结果也表明该数值反演算法具有一定的实用性.

针对计算流体力学对高性能计算的需求,基于三维并行自适应有限元程序开发平台PHG (Parallel Hierarchical Grid)开发了在非结构四面体网格上求解可压缩流欧拉方程的间断有限元法并行求解器（Libdgphg库）. 该求解器以C++函数库的形式实现数值方法中各项功能. 实施了模态基一次间断有限元, 采用低耗散的MLP(Multi-dimensional Limiting Process)限制器来抑制间断附近的数值振荡. 由于MLP限制器需要所有与当前单元共享顶点的邻近单元的信息, 模板较宽, 这给程序设计带来一定的困难. 我们通过引入辅助向量收集共享顶点的所有单元中的最大、最小单元积分平均值, 并归属到单元数据结构上, 从而利用PHG内在的通信机制实现MPI分区间的信息交换.通过几个数值算例测试了Libdgphg库的数值结果以及并行性能. 算例表明: 该求解器能得到理论精度阶和较高分辨率, 同时有良好的并行性能, 在千核测试中可达到60%以上的并行效率， 可用于流体问题的大规模计算.

针对全直线上的KdV方程构造了时空全离散Legendre-Hermite谱配置格式，也就是在时间方向上用Legendre-Gauss-Lobatto节点为配置点，在空间方向上用Hermite-Gauss节点为配置点，构造得到一个非线性矩阵方程，将其化为非线性方程组，利用通常的不动点迭代求解，数值实验表明这种方法的有效性.

本文提出了两种使用硬阈值进行矩阵填充的修正算法. 算法通过对迭代矩阵进行对角修正来完成矩阵填充, 其中第一种算法每步均修正, 第二种算法每两步修正一次, 并给出了算法的收敛性分析. 最后通过数值实验分别比较了两种算法与硬阈值算法填充的数值结果, 显示出了新算法的优越性.

Burgers方程为Navier-Stokes方程组的简化形式，在计算数学和计算流体力学领域中有着广泛应用.本文设计了粘性Burgers方程的高阶精度半隐式加权紧致非线性格式（WCNS），并给出了稳定性分析.方程对流项和粘性项分别采用五阶精度WCNS格式和四阶中心差分格式计算.半离散系统采用三阶精度IMEX Runge-Kutta方法计算，对流项和粘性项分别进行显式和隐式处理.数值结果表明IMEX Runge-Kutta WCNS格式可达到三阶时间精度和五阶空间精度，比显式TVD Runge-Kutta WCNS格式计算效率高，且具有高分辨率的激波捕捉能力.

分位数回归是对数据进行分析与预测的有效方法.由于分位数回归的损失函数具有非光滑性，有关分位数回归的计算问题仍面临着一些挑战.本文通过从罚分位数回归的对偶问题出发基于交替方向乘子法（Alternating Direction Method of Multipliers，简称ADMM）求解罚分位数回归问题.并在一些温和的条件下，给出对偶交替方向乘子法（dual ADMM，简称dADMM）的全局收敛性及局部线性收敛速度.数值试验验证了该算法的有效性.

由于脉冲微分混沌系统具有复杂的性态，在理论分析时具有一定的难度，而数值分析在一定程度上可以提供一些指导，所以数值模拟方法成为脉冲微分混沌系统研究的重要手段.该文设计了脉冲微分混沌系统的动力学分析算法，并将数值解以可视化的形式展现，绘制出方程组解的相图、分岔图、Poincaré截面.以具有Holling typeⅡ功能反应函数的Gompertz病毒传染病模型为例验证算法的可行性，进行了数值模拟，得到了一些有意义的结论.

针对求解一类广义复对称线性系统，Salkuyeh等学者利用等价2×2块实值形式提出了一种广义SOR （GSOR）迭代法.为了进一步提高计算效率，本文建立一种含有两个参数的广义AOR （GAOR）迭代法.详细分析了该方法的收敛性，得到一个范围更广的收敛域.最后，通过两个数值算例验证了GAOR迭代法的可行性与高效性.

光滑子是影响代数多重网格算法（AMG）求解效率的重要组件之一.本文考虑实际应用中普遍出现的一类多尺度稀疏矩阵，由于多尺度性质的影响，现有AMG光滑子的光滑效果不理想，从而影响AMG算法求解该类方程的效率.借助代数界面的概念，本文分析了代数界面对松弛型光滑子的影响，并通过扩展代数界面的内涵，设计了一种代数界面优先的光滑子（AI-Smoother）.以Gauss-Seidel （GS）光滑子为例，通过三维模型问题和实际问题测试了该光滑子（AI-GS）的有效性.测试表明，与自然序GS光滑子相比，AI-GS有效改善了AMG算法的收敛速度.对于三维随机系数扩散方程百万自由度算例，AI-GS可获得28.2%的加速，对于激光聚变应用中的三温方程百万自由度算例，AI-GS可获得28.8%的加速.

本文针对随机常微分方程（Random ordinary differential equations）的路径近似提出了平均单支$\theta$-方法.在单边Lipschitz条件下，得到该方法的路径收敛性，并研究了此类方法的B-稳定性，证明当$\theta\in[\frac{1}{2}，1]$，方法是B-稳定的.最后，{数值实验}验证了本文的结论.

针对目前大多数的低秩张量填充模型存在稀疏过约束而导致恢复数据的细微特征被忽略的现象，本文借助低秩矩阵分解和框架变换，引入软阈值算子的$\ell_0$范数正则项，提出一个基于近似稀疏正则化的低秩张量填充模型.为有效地求解该模型，我们将$\ell_0$范数改写为具有非线性不连续权函数的加权$\ell_1$范数，并用连续权函数逼近不连续权函数，在此基础上设计块逐次上界极小化的求解算法.在一定条件下，证明该算法的收敛性.大量实验表明，本文所提出的算法比现有一些经典算法能更好地重建得到图像的局部细节特征.

基于贪婪准则和最大距离准则选择系数矩阵工作列的策略, 提出两种求解大规模超定不相容线性系统的斜方向的 Gauss-Seidel 方法, 即斜方向的贪婪随机 Gauss-Seidel (GRGSO) 方法和斜方向的快速最大距离 Gauss-Seidel (FMDGSO) 方法. 当系数矩阵是列满秩时, 理论表明这些方法收敛到线性系统的唯一的最小二乘解. 特别是当矩阵A的列接近线性相关时, 数值结果表明这些方法在求解性能方面比传统的 Gauss-Seidel 型方法更具优势.

文章主要讨论了带有双边Riemann-Liouville分数阶导数的分数阶扩散方程.通过引入未知函数的通量$p=-K （{\theta_0}I_x^\beta+{（1-\theta）_x}I_1^\beta） Du$和导数$q=Du$作为中间变量，建立了相应的鞍点变分格式.基于鞍点格式构造了可同时高精度逼近未知函数，未知函数导数和分数阶通量的$L^1$全离散扩展混合有限元格式.在数值分析中，借助混合元投影算子的投影误差估计得到关于未知函数$u$的收敛阶为$O （\tau^{2-\alpha}+h^{\min\{k+1，s-1+{\beta\over2}\}}），$关于函数导数与分数阶数值通量$p$的收敛阶为$O （\tau^{2-\frac{3\alpha}{2}}+h^{\min\{k+1，s-1+{\beta\over2}\}}）.$文中数值实验表明，所提出的$L^1$全离散扩展混合有限元格式具有理想的数值逼近效果.

JFNK (Jacobian-free Newton-Krylov)方法是由外层Newton迭代法和内层Krylov子空间迭代法构成的嵌套迭代方法.本文提出了一种基于JFNK方法的高阶隐式WCNS (weighted compact nonlinear scheme)格式，并用于求解一维、二维粘性Burgers方程.外层迭代法采用含参数的多步Newton迭代法，给出了收敛性分析，内层迭代法采用无矩阵GMRES迭代法.粘性Burgers方程的非线性对流项采用五阶WCNS格式计算.为提高方法精度和计算效率，时间离散采用三阶隐式的DIRK (diagonal implicit Runge-Kutta)方法.数值结果表明基于JFNK方法的隐式WCNS格式在时间上能达到三阶精度，与显式TVD Runge-Kutta WCNS方法相比，计算效率更高.此外，基于JFNK方法的隐式WCNS格式稳定性好，且具有良好的激波捕捉能力.

许多科学和工程领域的问题经常会需要我们从一个给定分布中产生随机样本.在贝叶斯推断中，从后验分布中抽取样本是此类问题的一个代表性应用实例.常用的马尔可夫链蒙特卡洛方法比较难以发挥并行计算的优势，因此为了解决这个问题，在本文中我们提出了使用序贯性蒙特卡洛采样器作为在并行计算框架下对马尔可夫链蒙特卡洛方法的一个替代工具.具体而言，我们提出了序贯性蒙特卡洛采样器中两个不同的正向提议分布：高斯随机游动和朗之万正向核，并给出了相应的反向提议分布.结合数值试验，我们展示了在并行计算的条件下，序贯性蒙特卡洛采样器相比于多链条马尔可夫链蒙特卡洛方法，在计算效率上有明显的提升.