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    非局部和反常扩散模型的数值方法
    张继伟
    2021, 42 (3): 183-214.   DOI: 10.12288/szjs.s2021-0777
    摘要382)      PDF (1102KB)(483)   
    由于非局部模型能够描述某些重要物理现象产生的奇性和间断机制,近些年来在很多领域受到广泛应用并对相关学科的发展产生了强有力的推动作用.反常扩散模型作为一个重要的非局部模型,常用于描述反常扩散等现象.非局部模型的非局部性和多尺度特征不仅推动了新的数学理论的发现,而且为现有的离散和局部连续模型及其联系提供了新的视角.尽管已经有很多成果,但无论是从数学方法和基础理论还是数值方法角度来看,多尺度非局部和反常扩散模型都有广阔的研究空间.进一步发展和完善基础数学理论和方法,在真实的解正则性条件下发展新的高效数值格式,尤其是具有稳定、收敛、满足渐近兼容的数值格式是一个研究重点.在过去的几年里,本文作者一直致力于非局部模型的数学理论和数值方法研究,在人工边界条件设计、非局部极值原理和渐近兼容的数值格式等方面,取得了一些有意义的研究成果.在反常扩散方程的数值分析方面,发展了Caputo导数的快速算法和离散分数阶类型的Grönwall不等式,并提出了误差卷积结构的思想来表示局部相容误差,为一类常用变步长数值格式的最优误差估计提供了一些基础分析框架.要完全解决非局部和反常扩散模型中的各种数学问题还有相当长的距离,需要进一步深入研究.希望本文能为推动多尺度非局部模型和反常扩散模型的基础理论和算法的深入发展起到抛砖引玉的作用.
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    油藏数值模拟中的线性解法器
    张晨松
    2022, 43 (1): 1-26.   DOI: 10.12288/szjs.s2021-0813
    摘要289)      PDF (2604KB)(317)   
    中国的含油气地层分布广泛,但地质结构复杂,天然能量不足,开采难度高.油藏数值模拟方法与软件是油藏工程师对油藏进行分析和管理的重要工具,是油气藏开发后期确定剩余油分布、挖掘生产潜力和提高采收率的主要手段之一.精细地质模型可以达到很高的空间分辨率,导致网格数目巨大,模拟难度大、代价高,这给数值算法研究带来很多新挑战.本文以一个简化组分模型为例,简单介绍了其数学模型、离散方法、求解方法、并行计算和软件实现,其中着重介绍了几种被工业级软件采用的预条件方法和解耦方法.
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    带自适应学习率的加速随机方差缩减梯度法
    陈国茗, 于腾腾, 刘新为
    2021, 42 (3): 215-225.   DOI: 10.12288/szjs.s2020-0639
    摘要174)      PDF (634KB)(196)   
    由于随机方差缩减梯度(SVRG)法在求解经验风险最小化(ERM)问题时表现优异,近年来受到了广泛关注.与SVRG方法中使用固定的学习率不同,结合初始化偏差矫正技术,提出使用自适应方法来动态计算SVRG方法及其加速版本FSVRG方法的学习率,分别称为AdaSVRG方法和AdaFSVRG方法.收敛性分析表明,AdaSVRG方法和AdaFSVRG方法在强凸假设下均具有线性收敛速率.在标准数据集上的数值实验表明,在求解ERM问题时,AdaSVRG和AdaFSVRG需要更少的迭代次数就可以达到相同水平的优化间隙.
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    基于广义惩罚加权最小二乘的低剂量CT重建方法
    牛善洲, 刘宏, 朱赟, 喻高航, 马建华
    2021, 42 (3): 289-302.   DOI: 10.12288/szjs.s2020-0671
    摘要165)      PDF (774KB)(96)   
    针对低剂量CT成像问题,本文提出了一个基于广义惩罚加权最小二乘的低剂量CT重建方法,并在一定条件下建立了算法的全局收敛性定理.首先对投影数据进行统计建模构建广义加权最小二乘保真项,并且将二次先验信息引入投影数据的恢复过程中,从而达到抑制噪声的目的,最后使用经典的滤波反投影算法对恢复后的投影数据进行解析重建.实验结果表明,与惩罚加权最小二乘方法相比,新方法可以有效地抑制低剂量CT图像中的噪声和伪影,同时可以很好地保持图像的结构信息和空间分辨率.
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    两类向量序列加速收敛方法比较
    秦子康, 安恒斌, 王新玉
    2021, 42 (4): 379-394.   DOI: 10.12288/szjs.s2020-0704
    摘要153)      PDF (1506KB)(113)   
    迭代方法是求解大规模线性和非线性问题的主要方法.由迭代方法产生的向量序列的收敛速度直接影响方法的应用效果.为了提高向量序列的收敛速度,可以采用向量序列的迭代加速算法.目前,针对向量序列加速收敛的算法主要包括两类:基于外插类的方法和基于Anderson加速的方法.外插类加速方法通过对于原序列进行变形,以获得新的向量序列,使新的向量序列的收敛速度比原序列更快.典型的外插类方法有最小多项式外插(MPE)方法,修正的最小多项式外插(MMPE)方法,降秩外插(RRE)方法,拓扑 ε算法(TEA),向量 ε算法(VEA)等.Anderson加速方法结合不动点迭代格式,利用迭代过程中残差序列的信息构造新的迭代序列.本文选取RRE方法作为外插类加速方法的代表,与Anderson加速方法进行比较,并重点通过几类典型应用进行测试和分析.结果表明,Anderson加速方法和RRE方法均可提高向量序列的收敛速度,并且Anderson加速方法比RRE方法更为稳定和有效.
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    变系数偏微分方程的Galerkin KPOD模型降阶方法
    王丽, 苗真, 蒋耀林
    2021, 42 (3): 226-236.   DOI: 10.12288/szjs.s2019-0628
    摘要153)      PDF (734KB)(107)   
    研究了变系数偏微分方程的Galerkin KPOD(Krylov Enhanced Proper Orthogonal Decomposition)模型降阶方法.首先基于Galerkin有限元理论建立变系数偏微分方程的空间离散格式,得到具有时变系数矩阵的常微分方程组,并对该常微分方程组应用KPOD模型降阶方法进行降阶并求解.其次,对降阶投影算子进行了分析,给出了Galerkin有限元解与GalerkinKPOD降阶解之间的误差界.最后用数值算例验证了变系数偏微分方程的Galerkin KPOD模型降阶求解方法的可行性,通过有限元离散解与GalerkinKPOD降阶解、GalerkinPOD降阶解之间的误差比较,体现GalerkinKPOD降阶方法的优势.
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    三阶偏微分方程的时空间断Galerkin谱方法
    薛未, 吴华
    2021, 42 (3): 247-262.   DOI: 10.12288/szjs.s2020-0648
    摘要145)      PDF (699KB)(105)   
    本文提出了三阶偏微分方程的时空间断Galerkin谱方法.该方法在空间方向上采用局部间断Galerkin谱方法,即在每个子区域上,该格式按Legendre-Galerkin谱方法形成,子区域交界面处的跳跃项利用数值流量进行处理.在时间方向上采用多区域Legendre-tau谱方法.文中将该全离散格式分别应用到线性与非线性方程中,并分别给出了数值算例.理论分析部分给出了三阶线性偏微分方程在全离散格式下的收敛性分析.
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    基于Newton迭代法的最小二乘渐进迭代逼近
    兰林, 朱春钢
    2022, 43 (1): 88-111.   DOI: 10.12288/szjs.s2021-0785
    摘要131)      PDF (1654KB)(152)   
    最小二乘渐进迭代逼近(LSPIA)是一种有效的大规模数据拟合方法.针对LSPIA的加速问题,基于Newton迭代法,本文提出曲线曲面的两类最小二乘渐进迭代逼近格式.首先构造一个以控制顶点为变量的多元函数,其Hessian矩阵为正定矩阵,多元函数存在极小值,且其极小值所对应的控制顶点与LSPIA的收敛结果一致.对多元函数极小值问题,采用Newton迭代法进行求解.然后对Newton迭代格式中的Hessian矩阵和调整向量分别采用奇异值分解法和共轭梯度法求解,从而给出两种LSPIA迭代格式,分别记为NLSPIA和INLSPIA.最后给出两种迭代格式收敛性的理论证明.数值实例验证了文中方法的有效性和可行性,也表明了在相同条件下,NLSPIA与INLSPIA的收敛速度和计算时间都优于经典LSPIA.
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    迭代逼近坐标
    翟娜, 李亚娟, 邓重阳
    2022, 43 (1): 112-124.   DOI: 10.12288/szjs.s2021-0786
    摘要118)      PDF (13870KB)(142)   
    广义重心坐标能把多边形内任意一点表示为其顶点的线性组合,因此广泛应用于计算机图形学等领域.本文用渐进逼近的思想计算广义重心坐标.给定多边形及其内一点,首先将多边形映射到以该点为圆心的单位圆上,依次连接映射到同一圆上的各边中点,形成新的圆内接多边形.然后构造以多边形相邻两个点为顶点,其余点的加权和为另一顶点的三角形,并在该三角形内创建初始迭代点.由三角形顶点及各边中点生成三条有理Bézier曲线.通过曲线调整迭代点的位置,达到逐步缩小其与待求点距离的目的.最后通过回代求出待求点的重心坐标.实例表明,迭代逼近坐标具有非负性和光滑性等良好的性质.
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    粘性Burgers方程的高阶精度半隐式WCNS方法
    陈勋, 蒋艳群, 陈琦, 张旭, 胡迎港
    2022, 43 (1): 76-87.   DOI: 10.12288/szjs.s2020-0710
    摘要118)      PDF (1039KB)(55)   
    Burgers方程为Navier-Stokes方程组的简化形式,在计算数学和计算流体力学领域中有着广泛应用.本文设计了粘性Burgers方程的高阶精度半隐式加权紧致非线性格式(WCNS),并给出了稳定性分析.方程对流项和粘性项分别采用五阶精度WCNS格式和四阶中心差分格式计算.半离散系统采用三阶精度IMEX Runge-Kutta方法计算,对流项和粘性项分别进行显式和隐式处理.数值结果表明IMEX Runge-Kutta WCNS格式可达到三阶时间精度和五阶空间精度,比显式TVD Runge-Kutta WCNS格式计算效率高,且具有高分辨率的激波捕捉能力.
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    二阶椭圆问题的弱迦辽金四边形谱元方法
    潘佳佳, 李会元
    2021, 42 (4): 303-322.   DOI: 10.12288/szjs.s2020-0657
    摘要117)      PDF (4937KB)(128)   
    本文对二阶椭圆方程特征值问题的弱伽辽金谱元方法开展相关数值研究.与弱有限元方法类似,弱伽辽金谱元方法的逼近函数空间包括各个单元上的独立内部分量、并辅以各单元边界分量作为单元与单元间的联系.本文聚焦任意凸四边形网格剖分下的弱伽辽金四边形谱元方法,弱逼近函数中的各内部分量与边界分量分别由参考正方形单元与参考单元边界上的正交多项式通过双线性变换来构造;而弱梯度逼近空间则由参考正方形上的正交多项式通过Piola变换构造.在此基础上,本文提出了二阶椭圆方程特征值问题的弱伽辽金四边形谱元方法逼近格式和实现算法,并通过对离散弱梯度核空间的系统研究,具体分析了逼近格式的适定性.通过大量的数值实验,本文具体分析了弱伽辽金四边形谱元方法的精度和收敛性,特别是逼近函数空间与离散弱梯度空间中多项式次数的不同搭配对精度和收敛性的影响.研究表明, p-型弱伽辽金四边形谱元方法承袭了谱方法的指数阶收敛性质; h-型弱伽辽金四边形谱元方法不但具有 h-型方法在通常意义上的满阶收敛性,而且完全可以通过逼近空间多项式次数的灵活匹配达到超收敛.
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    基于复化Gauss-Legendre积分的Laplace变换数值反演及其应用
    李小龙
    2021, 42 (3): 263-275.   DOI: 10.12288/szjs.s2020-0653
    摘要116)      PDF (803KB)(93)   
    Laplace变换的数值反演是一个病态问题.采用代数精度较高的数值积分近似Laplace变换截断积分,合理选取复平面上样本点以形成离散线性代数方程组是解决这个问题的途径之一.本文采用代数精度较高的复化Gauss-Legendre数值积分近似Laplace变换截断积分,推导了一种Laplace变换数值反演算法.其间,对于所形成的条件数很大的线性方程组采用基于约化奇异值分解的最小二乘法进行求解,以尽可能降低数值解的误差.使用该算法对简单测试算例进行数值反演,并将其结果与精确解进行对比,结果表明,相比经典的Gaver-Stehfest方法和基于Gauss-Legendre积分的方法,本文推导的反演算法可以达到满意的数值精度.同时,结合该算法采用半解析半数值方法对一个较为复杂的冲击凿岩问题的数值反演结果也表明该数值反演算法具有一定的实用性.
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    求解Einstein-积张量方程的混合贪婪随机坐标下降法
    谢亚君, 马昌凤
    2021, 42 (4): 323-336.   DOI: 10.12288/szjs.s2020-0661
    摘要113)      PDF (882KB)(137)   
    贪婪随机坐标下降法是当前提出的求解最小二乘问题的有效方法.本文通过引入“残量最大下降指标”,给出了贪婪随机坐标下降法的修正版本及一个有效的两步混合加速算法.同时,将这些改进的有效算法用来求解带有Einstein-积的张量方程.理论及数值实验都充分验证了所提出算法的可行性和有效性.
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    一类线性Poisson-Boltzmann方程的虚单元法
    陈键铧, 阳莺
    2021, 42 (3): 237-246.   DOI: 10.12288/szjs.s2020-0638
    摘要110)      PDF (526KB)(90)   
    Poisson-Boltzmann方程是一类带有 Dirac分布源和间断系数的偏微分方程,本文主要研究一类线性的Poisson-Boltzmann方程的虚单元法.首先对Poisson-Boltzmann方程进行分解,将原方程转化为一类非奇性正则化Poisson-Boltzmann方程来求解,接着设计了相应的虚单元法.理论上给出最低阶虚单元法在 H 1范数下的最优误差估计.数值算例验证了理论分析的收敛阶,同时也说明了利用虚单元法可以实现线性Poisson-Boltzmann方程在多边形网格上的求解.
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    复合凸优化问题的一个非精确多层梯度镜面下降算法
    肖斌, 周芷娟, 胡清洁
    2021, 42 (4): 361-378.   DOI: 10.12288/szjs.s2020-0695
    摘要108)      PDF (523KB)(125)   
    本文提出一个求解复合凸优化问题的非精确多层梯度镜面下降算法.该算法允许目标函数中光滑部分梯度计算和非光滑部分邻近算子计算都存在误差,在适当条件下分析了该算法函数值误差序列的 O(1/ k 2)收敛速度,这里 k表示迭代次数.最后关于Lasso问题和Logistic问题的数值结果表明该算法是有效的.
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    脉冲微分混沌系统动力学数值模拟与分析
    郭俊荣, 严平
    2022, 43 (1): 27-37.   DOI: 10.12288/szjs.s2020-0683
    摘要99)      PDF (2173KB)(73)   
    由于脉冲微分混沌系统具有复杂的性态,在理论分析时具有一定的难度,而数值分析在一定程度上可以提供一些指导,所以数值模拟方法成为脉冲微分混沌系统研究的重要手段.该文设计了脉冲微分混沌系统的动力学分析算法,并将数值解以可视化的形式展现,绘制出方程组解的相图、分岔图、Poincaré截面.以具有Holling typeⅡ功能反应函数的Gompertz病毒传染病模型为例验证算法的可行性,进行了数值模拟,得到了一些有意义的结论.
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    时空分数阶扩散方程的扩展混合有限元方法
    袁琼, 杨志伟, 付芳芳
    2021, 42 (3): 276-288.   DOI: 10.12288/szjs.s2020-0655
    摘要96)      PDF (426KB)(70)   
    文章主要讨论了带有双边Riemann-Liouville分数阶导数的分数阶扩散方程.通过引入未知函数的通量$p=-K ({\theta_0}I_x^\beta+{(1-\theta)_x}I_1^\beta) Du$和导数$q=Du$作为中间变量,建立了相应的鞍点变分格式.基于鞍点格式构造了可同时高精度逼近未知函数,未知函数导数和分数阶通量的$L^1$全离散扩展混合有限元格式.在数值分析中,借助混合元投影算子的投影误差估计得到关于未知函数$u$的收敛阶为$O (\tau^{2-\alpha}+h^{\min\{k+1,s-1+{\beta\over2}\}}),$关于函数导数与分数阶数值通量$p$的收敛阶为$O (\tau^{2-\frac{3\alpha}{2}}+h^{\min\{k+1,s-1+{\beta\over2}\}}).$文中数值实验表明,所提出的$L^1$全离散扩展混合有限元格式具有理想的数值逼近效果.
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    基于对偶交替方向乘子法求解罚分位数回归问题
    赵宁宁, 王承竞
    2022, 43 (1): 38-48.   DOI: 10.12288/szjs.s2020-0698
    摘要93)      PDF (466KB)(64)   
    分位数回归是对数据进行分析与预测的有效方法.由于分位数回归的损失函数具有非光滑性,有关分位数回归的计算问题仍面临着一些挑战.本文通过从罚分位数回归的对偶问题出发基于交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers,简称ADMM)求解罚分位数回归问题.并在一些温和的条件下,给出对偶交替方向乘子法(dual ADMM,简称dADMM)的全局收敛性及局部线性收敛速度.数值试验验证了该算法的有效性.
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    基于均值修正的Toeplitz矩阵填充的增广拉格朗日乘子算法
    温瑞萍, 肖云, 王川龙
    2022, 43 (1): 61-75.   DOI: 10.12288/szjs.s2020-0706
    摘要84)      PDF (561KB)(64)   
    本文基于均值的增广拉格朗日乘子算法,提出了一种快速且具有较高精度的Toeplitz矩阵填充算法.新算法一方面通过均值结构化处理保证迭代后产生的填充矩阵是可行的Toeplitz矩阵,另一方面通过在迭代过程中嵌入修正步而极大地节约了计算时间,得到了更精确的填充矩阵.同时讨论了新算法的收敛性,最后通过数值实验表明新算法比基于均值的增广Lagrange乘子算法(MALM)和增广Lagrange乘子算法(ALM)在时间和精度上均有改进.
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    Korteweg-de Vries方程的时空谱配置方法
    马亚楠, 王天军, 李冰冰
    2021, 42 (4): 351-360.   DOI: 10.12288/szjs.s2020-0692
    摘要78)      PDF (387KB)(75)   
    针对全直线上的KdV方程构造了时空全离散Legendre-Hermite谱配置格式,也就是在时间方向上用Legendre-Gauss-Lobatto节点为配置点,在空间方向上用Hermite-Gauss节点为配置点,构造得到一个非线性矩阵方程,将其化为非线性方程组,利用通常的不动点迭代求解,数值实验表明这种方法的有效性.
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