中国的含油气地层分布广泛，但地质结构复杂，天然能量不足，开采难度高.油藏数值模拟方法与软件是油藏工程师对油藏进行分析和管理的重要工具，是油气藏开发后期确定剩余油分布、挖掘生产潜力和提高采收率的主要手段之一.精细地质模型可以达到很高的空间分辨率，导致网格数目巨大，模拟难度大、代价高，这给数值算法研究带来很多新挑战.本文以一个简化组分模型为例，简单介绍了其数学模型、离散方法、求解方法、并行计算和软件实现，其中着重介绍了几种被工业级软件采用的预条件方法和解耦方法.

由于脉冲微分混沌系统具有复杂的性态，在理论分析时具有一定的难度，而数值分析在一定程度上可以提供一些指导，所以数值模拟方法成为脉冲微分混沌系统研究的重要手段.该文设计了脉冲微分混沌系统的动力学分析算法，并将数值解以可视化的形式展现，绘制出方程组解的相图、分岔图、Poincaré截面.以具有Holling typeⅡ功能反应函数的Gompertz病毒传染病模型为例验证算法的可行性，进行了数值模拟，得到了一些有意义的结论.

分位数回归是对数据进行分析与预测的有效方法.由于分位数回归的损失函数具有非光滑性，有关分位数回归的计算问题仍面临着一些挑战.本文通过从罚分位数回归的对偶问题出发基于交替方向乘子法（Alternating Direction Method of Multipliers，简称ADMM）求解罚分位数回归问题.并在一些温和的条件下，给出对偶交替方向乘子法（dual ADMM，简称dADMM）的全局收敛性及局部线性收敛速度.数值试验验证了该算法的有效性.

本文针对随机常微分方程（Random ordinary differential equations）的路径近似提出了平均单支$\theta$-方法.在单边Lipschitz条件下，得到该方法的路径收敛性，并研究了此类方法的B-稳定性，证明当$\theta\in[\frac{1}{2}，1]$，方法是B-稳定的.最后，{数值实验}验证了本文的结论.

本文基于均值的增广拉格朗日乘子算法，提出了一种快速且具有较高精度的Toeplitz矩阵填充算法.新算法一方面通过均值结构化处理保证迭代后产生的填充矩阵是可行的Toeplitz矩阵，另一方面通过在迭代过程中嵌入修正步而极大地节约了计算时间，得到了更精确的填充矩阵.同时讨论了新算法的收敛性，最后通过数值实验表明新算法比基于均值的增广Lagrange乘子算法（MALM）和增广Lagrange乘子算法（ALM）在时间和精度上均有改进.

Burgers方程为Navier-Stokes方程组的简化形式，在计算数学和计算流体力学领域中有着广泛应用.本文设计了粘性Burgers方程的高阶精度半隐式加权紧致非线性格式（WCNS），并给出了稳定性分析.方程对流项和粘性项分别采用五阶精度WCNS格式和四阶中心差分格式计算.半离散系统采用三阶精度IMEX Runge-Kutta方法计算，对流项和粘性项分别进行显式和隐式处理.数值结果表明IMEX Runge-Kutta WCNS格式可达到三阶时间精度和五阶空间精度，比显式TVD Runge-Kutta WCNS格式计算效率高，且具有高分辨率的激波捕捉能力.

最小二乘渐进迭代逼近（LSPIA）是一种有效的大规模数据拟合方法.针对LSPIA的加速问题，基于Newton迭代法，本文提出曲线曲面的两类最小二乘渐进迭代逼近格式.首先构造一个以控制顶点为变量的多元函数，其Hessian矩阵为正定矩阵，多元函数存在极小值，且其极小值所对应的控制顶点与LSPIA的收敛结果一致.对多元函数极小值问题，采用Newton迭代法进行求解.然后对Newton迭代格式中的Hessian矩阵和调整向量分别采用奇异值分解法和共轭梯度法求解，从而给出两种LSPIA迭代格式，分别记为NLSPIA和INLSPIA.最后给出两种迭代格式收敛性的理论证明.数值实例验证了文中方法的有效性和可行性，也表明了在相同条件下，NLSPIA与INLSPIA的收敛速度和计算时间都优于经典LSPIA.

广义重心坐标能把多边形内任意一点表示为其顶点的线性组合，因此广泛应用于计算机图形学等领域.本文用渐进逼近的思想计算广义重心坐标.给定多边形及其内一点，首先将多边形映射到以该点为圆心的单位圆上，依次连接映射到同一圆上的各边中点，形成新的圆内接多边形.然后构造以多边形相邻两个点为顶点，其余点的加权和为另一顶点的三角形，并在该三角形内创建初始迭代点.由三角形顶点及各边中点生成三条有理Bézier曲线.通过曲线调整迭代点的位置，达到逐步缩小其与待求点距离的目的.最后通过回代求出待求点的重心坐标.实例表明，迭代逼近坐标具有非负性和光滑性等良好的性质.