构造了非正交网格上扩散方程新的非线性单元中心型有限体积格式, 证明了该格式满足离散极值原理, 且在适当条件下具有强制性、以及在离散H¹范数下解的有界性和一阶收敛性.

针对稳态的Poisson-Nernst-Planck方程研究了一种残量型的后验误差估计子, 对方程的两个解-浓度和电势, 都分别给出了上界和下界估计. 数值实验表明, 基于这种后验误差估计子构造的自适应有限元算法对于稳态的Poisson-Nernst-Planck方程是有效的.

本文研究边界条件符合幂指数型非线性关系H × n = n × (|E × n|^α-1E × n)(0 < α ≤ 1)的涡流方程.使用A-φ耦合有限元格式数值求解这类问题具有较高精度,但计算开销大. A-φ解耦有限元计算格式能够在每个时间步上分别求解矢量A和标量φ,以此降低计算规模,提高计算效率.我们证明了解耦格式中解的存在唯一性,并且给出了它的误差估计.最后给出的数值实验证明了本文所提供的解耦算法是稳定和有效的.

本文运用Poincaré-Miranda定理数值验证变分不等式问题解的存在性. 证明这一新方法相对于已有的方法更具有普遍性, 并通过数值例子说明本方法的高效性.

研究来源于多元统计分析中的一类矩阵迹函数最小化问题$$\min c+ tr(AX)+\sum\limits_{j=1}^{m}tr(B_j X C_jX^{T}),\ \ {\rm s. t.} \ X^TX=I_p,$$其中$c$为常数, $A\in R^{p\times n}\ (n\geq p)$, $B_j\in R^{n\times n}, C_j\in R^{p\times p}$为给定系数矩阵. 数值实验表明已有的Majorization算法虽可行, 但收敛速度缓慢且精度不高. 本文从黎曼流形的角度重新研究该问题, 基于Stiefel流形的几何性质, 构造一类黎曼非单调共轭梯度迭代求解算法, 并给出算法收敛性分析.数值实验和数值比较验证所提出的算法对于问题模型是高效可行的.

论文首先证明了非线性随机分数阶微分方程解的存在唯一性, 然后构造了数值求解该方程的Euler 方法, 并证明了当方程满足一定约束条件时, 该方法是弱收敛的. 特别地, 当分数阶α=0时, 该方程退化为非线性随机微分方程, 所获结论与现有文献中的相关结论是一致的; 当α ≠ 0, 且初值条件为齐次时, 所获结论可视为现有文献中线性随机分数阶微分方程情形的推广和改进. 随后, 文末的数值试验验证了所获理论结果的正确性.

本文将QHSS迭代方法运用于求解一类分块二阶线性方程组. 通过适当地放宽QHSS迭代方法的收敛性条件,我们给出了用QHSS迭代方法求解一类分块二阶线性方程组的具体迭代格式,并证明了当系数矩阵中的(1,1)块对称半正定时该QHSS迭代方法的收敛性.我们还用数值实验验证了QHSS迭代方法的可行性和有效性.

本文构造了求解一类非线性互补问题的松弛two-sweep模系矩阵分裂迭代法. 理论分析建立了新方法在系数矩阵为正定矩阵或H₊矩阵时的收敛性质．数值实验结果表明新方法是行之有效的, 并且在最优参数下松弛two-sweep模系矩阵分裂迭代法在迭代步数和时间上均优于传统的模系矩阵分裂迭代法和two-sweep模系矩阵分裂迭代法.

计算神经科学是近三十年来出现的一个新兴交叉学科，它强调采用数学定量的方法，如数学建模、理论分析和数值模拟等来研究和解决神经科学中的重要科学问题，一方面神经科学实验现象为发展新的数学模型、理论和算法提供了基础，另一方面通过数学定量，能反过来揭示神经科学实验现象背后的数理机制，发现新的科学规律.随着欧盟、美国、日本和我国脑计划的陆续推出，对大脑的探索已成为重要的前沿科学领域，同时随着数据科学、机器学习等领域的兴起，研究如何借鉴大脑的工作原理来实现类脑计算以及人工智能也成为了世界大国科技竞争的战略制高点.鉴于此，计算神经科学作为连接大脑神经科学与类脑人工智能两大研究领域的桥梁，在前沿科学领域和国家战略需求中的地位变得越来越重要.计算神经科学研究领域的发展，对于推动神经科学与数学、物理、统计、计算机、人工智能等其他自然科学学科及工程应用学科之间的共进发展，以及综合利用不同学科的优势互补来取得从零到一的重要科学突破有着重大意义.

本文讨论了简化摩擦接触问题的一类对称弱超内罚间断Galerkin方法.首先，在能量范数意义下得到最优先验误差估计.进一步，我们推导了一类残量型后验误差估计子，并证明了它的可靠性和有效性.

本文研究一类来源于分数阶特征值问题的Toeplitz线性代数方程组的求解.构造Strang循环矩阵作为预处理矩阵来求解该Toeplitz线性代数方程组，分析了预处理后系数矩阵的特征值性质.提出求解该线性代数方程组的预处理广义极小残量法（PGMRES），并给出该算法的计算量.数值算例表明了该方法的有效性.

本文基于分段二次多项式方程，构造了一种积极集策略的光滑化max函数.通过给出与光滑化max函数相关的分量函数指标集的直接计算方法，将分段二次多项式方程转化为一般二次多项式方程.利用二次多项式方程根的性质，给出了该光滑化max函数的稳定计算策略，证明了其具有一阶光滑性，其梯度函数具有局部Lipschitz连续性和强半光滑性.该光滑化max函数仅与函数值较大的分量函数相关，适用于含分量函数较多且复杂的max函数的问题.为了验证其效率，本文基于该函数构造了一种解含多个复杂分量函数的无约束minimax问题的光滑化算法，数值实验表明了该光滑化max函数的可行性及有效性.

基于已有的针对单侧正规化回火分数阶扩散方程的三阶拟紧算法，将该算法的思想应用于带漂移的单侧正规化回火分数阶扩散方程的数值模拟，并结合Crank-Nicolson方法导出数值格式.证明了数值格式的稳定性与收敛性，且数值格式的时间收敛阶和空间收敛阶分别是二阶和三阶.通过数值试验验证了数值格式的有效性和理论结果.

本文求解了一类二次规划的逆问题，具体为目标函数是矩阵谱范数与向量无穷范数之和的最小化问题.首先将该问题转化为目标函数可分离变量的凸优化问题，提出用G-ADMM法求解.并结合奇异值阈值算法，Moreau-Yosida正则化算法，matlab优化工具箱的quadprog函数来精确求解相应的子问题.而对于其中一个子问题的精确求解过程中发现其仍是目标函数可分离变量的凸优化问题，由于其变量都是矩阵，所以采用适合多个矩阵变量的交替方向法求解，通过引入新的变量，使其每个子问题的解都具有显示表达式.最后给出采用的G-ADMM法求解本文问题的数值实验.数据表明，本文所采用的方法能够高效快速地解决该二次规划逆问题.

带刚性源项的双曲守恒律方程是很多物理问题，特别是化学反应流的数学模型.本文考虑带刚性源项的标量双曲型守恒律方程，通过时空分离的方式，发展了一类保有界的WCNS格式.对于空间离散，我们将参数化的通量限制器推广到WCNS框架，使得方程对流项离散后满足极值原理.对于时间离散，我们将半离散的WCNS改写成指数形式，采用三阶修正指数型Runge-Kutta格式来控制方程的刚性，保持数值解的界.可以证明，本文格式对带刚性源项的一维标量守恒律方程具有保有界性和弱渐近保持性.数值试验验证了方法的有效性.

本文利用雅可比谱配置方法研究弱奇异时滞Volterra积分方程，分别得到真解与近似解在$L^{\infty}$和$L^2_{\omega^{-\mu，0}}$ 范数意义下呈现指数收敛的结论，数值仿真结果验证理论分析的正确性.

原子间相互作用建模是分子动力学模拟的核心问题之一.基于第一性原理的建模准而不快，经验势模型快而不准，因此人们长期面临精度和效率只得其一的两难困境.基于机器学习的原子间相互作用建模在达到第一性原理精度的同时，计算开销大大降低，因而有希望解决这一两难困境.本文将介绍构造基于机器学习的原子间相互作用模型的一般框架，归纳近年来的主要建模工作，并探讨这些工作的优势和劣势.

本文针对带有随机杨氏模量和荷载的平面线弹性问题，提出了一类随机弱Galerkin有限元方法.先利用Karhunen-Loève展开把随机项参数化，将方程转化为一个确定性问题；再采用弱Galerkin有限元法和$k$-/$p$-型方法分别离散空间区域和随机场.在弱Galerkin离散中，用分片$s（s\geqslant 1$）和$s+1$次多项式逼近单元内部的应力和位移，用分片$s$次多项式逼近位移在单元边界上的迹.证明了该方法关于空间网格尺度最优且与Lamé常数$\lambda$一致无关的误差估计.最后通过数值算例验证了理论结果.

针对一类变延迟微分方程，应用全隐式方法—平衡方法，研究了其收敛性和稳定性.结果表明平衡方法以$\frac{1}{2}\gamma，\gamma\in（0，1]$阶收敛到精确解；并且强平衡方法和弱平衡方法都能保持解析解的均方稳定性；进一步数值实验验证了算法理论分析的正确性，并且表明全隐式的平衡方法比显式方法—Euler方法具有更好的稳定性.

本文采用Modulus-based变换将非线性互补问题转化为非光滑方程组，并将一种多步自适应Levenberg-Marquardt方法推广应用于求解所得的非光滑方程组，从而得到原问题的解.在适当条件下，本文证明了算法的全局收敛性.与一种已有的参数自适应Levenberg-Marquardt方法（PSA-LMM）相比较，数值实验结果表明了本文所提出的算法具有更好的效率.

本文主要研究状态转换下欧式Merton跳扩散期权定价模型的拟合有限体积方法.针对该定价模型中的偏积分-微分方程，空间方向采用拟合有限体积方法离散，时间方向构造Crank-Nicolson格式.理论证明了数值格式的一致性、稳定性和单调性，因此收敛至原连续问题的解.数值实验验证了新方法的稳健性，有效性和收敛性.

对于求解大型稀疏连续Sylvester方程，Bai提出了非常有效的Hermitian和反Hermitian分裂（HSS）迭代法.为了进一步提高求解这类方程的效率，本文建立一种广义正定和反Hermitian分裂（GPSS）迭代法，并且提出不精确GPSS（IGPSS）迭代法从而可以降低计算成本.对GPSS迭代法及其不精确变体的收敛性作了详细分析.另外，建立一种超松弛加速GPSS（AGPSS）方法并且讨论了收敛性.数值结果表明了方法的高效性和鲁棒性.

本文将局部投影稳定化（LPS）方法和连续时空有限元方法相结合研究对流扩散反应方程，给出稳定化连续时空有限元离散格式.与传统的时空有限元研究思路不同，时间方向利用Lagrange插值多项式，解耦时间和空间变量，降低时空有限元解的维数，具有减少计算量和简化理论分析的优点.通过引入Legendre多项式给出了有限元解的稳定性分析，进一步引进Lobatto多项式证明了有限元解的全局L^∞（L²）和局部L²（J_n；LPS）范数误差估计.最后给出数值算例验证理论分析的正确性，以及稳定化格式的可行性和有效性.

基于HS共轭梯度法的结构，本文在弱假设条件下建立了一种求解凸约束伪单调方程组问题的迭代投影算法.该算法不需要利用方程组的任何梯度或Jacobian矩阵信息，因此它适合求解大规模问题.算法在每一次迭代中都能产生充分下降方向，且不依赖于任何线搜索条件.特别是，我们在不需要假设方程组满足Lipschitz条件下建立了算法的全局收敛性和R-线收敛速度.数值结果表明，该算法对于给定的大规模方程组问题是稳定和有效的.

为了高效求解中小型线性互补问题，本文提出了改进的分块模方法，并证明了关于严格对角占优（对角元素均为正数）线性互补问题的收敛性.对于广义对角占优线性互补问题，先将其转化为严格对角占优线性互补问题，再采用改进的分块模方法求解.数值结果表明，改进的分块模方法在求解广义对角占优线性互补问题时在内迭代次数和计算时间上均明显优于分块模方法.

本文讨论双曲型守恒律方程的熵稳定格式.对于给定的熵对，格式所满足的熵条件中的数值熵通量是不唯一的.Tadmor的充分条件可以唯一地确定标量方程的熵守恒通量，但不能唯一确定方程组的熵守恒通量，却可以给出方程组的空间一阶精度的熵守恒格式.也讨论了在熵守恒通量上添加数值粘性得到的显式熵稳定格式需要满足的条件及常见的时间离散对熵守恒和熵稳定的影响.

基于已有文献的研究成果及前期工作，我们考察了非线性弱奇性Volterra积分方程（VIE）的谱配置法，并对该方法进行了收敛性分析.得到的结论是数值误差呈谱收敛.误差收敛阶与配置点个数及方程解的正则性相关.数值实验也证实了这一结论.本文的方法解决了已有文献中类似数值方法（Allaei（2016），Sohrabi（2017））存在的问题.

应用求解算子方程的Ulm方法构造了求解一类矩阵特征值反问题（IEP）的新算法.所给算法避免了文献[Aishima K.，A quadratically convergent algorithm based on matrix equations for inverse eigenvalue problems，Linear Algebra and its Applications，2018，542：310-33]中算法在每次迭代中要求解一个线性方程组的不足，证明了在给定谱数据互不相同的条件下所给算法具有根收敛意义下的二次收敛性.数值实验表明本文所给算法在矩阵阶数较大时计算效果优于上文所给算法.

四阶不完全对称张量的M-特征值在非线性弹性材料分析中有着广泛的应用.本文的目的是给出四阶不完全对称张量M-特征值的新包含域，得到最大M-特征值上界更精确的估计，并将得到的上界估计值应用到计算最大M-特征值的WQZ算法中，数值例子验证了结果的有效性.最后，基于得到的包含域，给出了四阶不完全对称张量正定性判定的充分条件.

设$n+1$个$m\times n（m\geq n）$实矩阵$\{A_i\}_{i=0}^n$和给定的$n$个正数$\{\sigma_i^{*}\}_{i=1}^n$.本文研究如下的逆奇异值问题：求$n$个实数$\{c_i^{*}\}_{i=1}^n$，使得矩阵$A_0+c_1^{*}A_1+\cdots +c_n^{*}A_n$有奇异值$\{\sigma_i^*\}_{i=1}^n.$基于矩阵方程，我们给出了求解逆奇异值问题的一个新的算法，并证明了它的二阶收敛特性.该算法可以看成是Aishima[Linear Algebra and its Applications，2018，542：310-333]中逆对称特征值问题算法的推广.数值例子表明算法的有效性.

信赖域方法是求解非线性方程组的一种重要方法.本文研究了求解非线性方程组的信赖域半径趋于零的信赖域算法在Jacobi矩阵Hölderian连续条件下的全局收敛性质，以及其在Hölderian局部误差界和Jacobi矩阵Hölderian连续条件下的收敛速度.

本文考虑了分布阶时间分数阶扩散波动方程，其中时间分数阶导数是在Caputo意义上定义的，其阶次$\alpha，\beta$分别属于（0，1）和（1，2）.文中提出了在计算上行之有效的数值方法来模拟分布阶时间分数阶扩散波动方程.在时间上，通过中点求积公式把分布阶项转换为多项的时间分数阶导数项，并且利用$L1$和$L2$公式来近似Caputo分数阶导数；空间上使用Galerkin有限元方法进行离散.给出了基于$H^1$范数的有限元解的稳定性和误差估计的详细证明，最后的数值算例结果说明了理论分析的正确性以及有效性.

首先利用变分原理和最优化理论得到了原问题的等价最优性条件；其次构造了椭圆最优控制问题分裂正定混合有限元方法的逼近格式；再次通过引入一些重要的中间变量和投影算子，并利用投影算子的相关性质，结合分裂正定混合有限元本身的逼近结果，得到了椭圆最优控制问题分裂正定混合有限元方法的超收敛性；最后数值实验结果验证了所得理论结果的正确性.

针对低秩稀疏矩阵恢复问题的一个非凸优化模型，本文提出了一种快速非单调交替极小化方法.主要思想是对低秩矩阵部分采用交替极小化方法，对稀疏矩阵部分采用非单调线搜索技术来分别进行迭代更新.非单调线搜索技术是将单步下降放宽为多步下降，从而提高了计算效率.文中还给出了新算法的收敛性分析.最后，通过数值实验的比较表明，矩阵恢复的非单调交替极小化方法比原单调类方法更有效.

平移对称幂法（SS-HOPM）在求解源自玻色-爱因斯坦凝聚态的非线性特征值问题时，不仅具有较高的计算效率，而且具有点列收敛性，但其收敛率尚未得到有效估计.本文通过将多项式Kurdyka-Łojasiewicz（K-Ł）指数界的相关结果应用到所涉及优化问题的Lagrange函数上，得到了平移对称幂法的次线性收敛率估计，从理论上解释了平移对称幂法的计算效率.