分数阶偏微分方程的研究有很长的历史,并在最近十多年得到快速发展.相比极为有限的理论成果,数值方法的研究成果已经相当丰富,几个国际研究团队对此作出了贡献.本文旨在对分数阶微分方程的理论与数值方法研究成果做个简要的评价,聚焦总结评述与高阶方法发展密切相关的研究.主要内容为讨论最基本的三类方程:时间分数阶扩散方程、空间分数阶扩散方程、以及时空分数阶扩散方程的理论进展和数值方法研究在最近十年取得的结果.我们还有针对性地选择一些算例,用以说明几个重要方法的精度和有效性.

随机弹性方程在结构工程中有许多应用.本文研究一类由空间时间白噪音扰动的随机弹性方程的全离散有限差分格式.通过引入新的函数,将随机弹性方程表示成一阶方程组的形式,然后对噪音项进行分片常数逼近,构造了带有空间时间白噪音随机弹性方程的全离散差分格式.基于对Gronwall不等式和Burkholder不等式的应用,证明了格式的L^p收敛性并得到了收敛阶.在数值实验中结合Monte-Carlo方法,所得实验结果与理论分析是一致的.

本文研究多组变量相关分析SSQCOR准则的数值方法.从KKT条件出发引入了Gauss-Seidel型方法,从SSQCOR出发引入了交替变量法.证明了前者是后者的非精确形式,都具有单调上升性.为了提高得到全局解的可能性,引入了初始点策略.用实际数据和模拟数据进行了数值试验以说明算法的有效性.

构造了一种有理四次插值样条,其分子为四次多项式分母为二次多项式.该有理插值样条是有界的、保单调且C²连续的,仅带有一个调节参数δ_#em/em#.研究了有理四次插值样条的性质,同时给出了相应的函数值控制、导数值控制方法.这种方法的优点在于能够根据实际设计需要简单地选取适宜的参数,达到对曲线的形状进行局部调控的目的.

对一类非线性四阶双曲方程利用双线性元Q₁₁及Nédélec's元建立一个扩展的协调混合元逼近格式.首先证明了逼近解的存在唯一性.其次,基于上述两个单元的高精度结果,给出了插值和投影之间的误差估计,再利用对时间t的导数转移技巧和插值后处理技术,在半离散和全离散格式下分别导出了原始变量u和中间变量v=-Δu在H¹模及中间变量q=∇u,σ=-∇(Δu)在(L²)²模意义下单独利用插值和投影所无法得到的具有O(h²)和O(h²+τ²)阶的超收敛结果.最后通过数值算例,表明逼近格式是行之有效的.这里, h和τ分别表示空间剖分参数及时间步长.

本文提出了求解广义鞍点问题的一个新的类SOR迭代算法,并分析了新算法的收敛性.数值实验结果表明新算法是十分有效的.

梯度法是求解无约束最优化的一类重要方法.步长选取的好坏与梯度法的数值表现息息相关.注意到BB步长隐含了目标函数的二阶信息,本文将BB法与信赖域方法相结合,利用BB步长的倒数去近似目标函数的Hesse矩阵,同时利用信赖域子问题更加灵活地选取梯度法的步长,给出求解无约束最优化问题的单调和非单调信赖域BB法.在适当的假设条件下,证明了算法的全局收敛性.数值试验表明,与已有的求解无约束优化问题的BB类型的方法相比,非单调信赖域BB法中e_k=‖x_k-x*‖的下降呈现更明显的阶梯状和单调性,因此收敛速度更快.

本文在著名PRP共轭梯度算法的基础上研究了一种无导数谱PRP投影算法,并证明了算法在求解带有凸约束条件的非线性单调方程组问题的全局收敛性.由于无导数和储存量小的特性,它更适应于求解大规模非光滑的非线性单调方程组问题.数值试验表明,新算法对给定的测试问题是有效的和稳定的.

针对带有铁磁材料的非线性涡流问题,其非线性性通常体现在磁场强度和磁感应强度的关系上.本文提出了一种全离散的有限元A-φ格式,分别在时间和空间上采用向后欧拉公式以及节点有限元进行离散.首先,在合适的函数空间里给出时间上的半离散格式,通过考察其弱形式建立相应的适定性理论,并证明近似解收敛于弱解.其次,给出全离散格式并讨论其误差估计.最后,给出两个数值算例以验证理论结果.

利用时间间断空间连续的时空有限元方法构造了空间分数阶反应扩散方程组的可以逐时间层求解的全离散格式.在时间离散区间上,采用Radau积分公式,将插值理论与有限元理论相结合,给出了全离散格式解的存在唯一性结果,并证明了所给格式是无条件稳定的,进而详细给出最优阶L^∞(L²)模误差估计过程.最后用数值算例验证了理论分析的正确性.

针对源于Markov跳变线性二次控制问题中的一类对偶代数Riccati方程组,分别采用修正共轭梯度算法和正交投影算法作为非精确Newton算法的内迭代方法,建立求其对称自反解的非精确Newton-MCG算法和非精确Newton-OGP算法.两种迭代算法仅要求Riccati方程组存在对称自反解,对系数矩阵等没有附加限定.数值算例表明,两种迭代算法是有效的.

本文主要考虑一类线性矩阵不等式及其最小二乘问题,它等价于相应的矩阵不等式最小非负偏差问题.之前相关文献提出了求解该类最小非负偏差问题的迭代方法,但该方法在每步迭代过程中需要精确求解一个约束最小二乘子问题,因此对规模较大的问题,整个迭代过程需要耗费巨大的计算量.为了提高计算效率,本文在现有算法的基础上,提出了一类修正迭代方法.该方法在每步迭代过程中利用有限步的矩阵型LSQR方法求解一个低维矩阵Krylov子空间上的约束最小二乘子问题,降低了整个迭代所需的计算量.进一步运用投影定理以及相关的矩阵分析方法证明了该修正算法的收敛性,最后通过数值例子验证了本文的理论结果以及算法的有效性.

基于函数空间{1,sint,cost,sin²t,sin³t,cos³t}构造了一种形状可调的三次三角Hermite插值样条.该样条不仅具有带参数的Hermite型插值样条的主要特性,而且在插值节点为等距时可自动满足C²连续,其形状还可通过所带的参数进行调节.在适当条件下,该样条对应的Ferguson曲线可精确表示工程中一些常见的曲线.

本文对于无界区域上的Helmholtz方程研究基于修正的Dirichlet-to-Neumann边界条件(MDtN)的有限元方法,得到了依赖于网格尺寸,MDtN边界条件的位置和MDtN中的级数截断项数的H¹-误差估计和L²-误差估计.最后通过数值结果验证了误差分析的正确性以及所提方法的有效性.

本文基于局部分数阶Taylor展开式构造非光滑函数的分数阶插值公式,证明了插值公式的存在和唯一性,给出了分数阶插值的Lagrange表示形式及其误差余项,讨论了一种混合型的分段分数阶插值和整数阶插值的收敛阶.数值算例验证了对于非光滑函数分数阶插值明显优于通常的多项式插值,并说明在实际计算中采用分段混合分数阶和整数阶插值可以使得插值误差在区间上分布均匀,能够极大地提高插值精度.

为了求解动理学方程，我们通过研究一维情形下对离散速度模型的离散速度点的进行自适应的技术，发现可以自然地得到Grad矩方程组.作为一个统一的认识，矩方程组可以看作是对离散速度点自适应的离散速度模型，而离散速度模型可以看作是取特别形式的“矩”的矩方程组.这使得我们可以在一致的框架下来理解离散速度模型和矩方法，而不是将它们对立起来.为了建立这样的一致框架，最近在[2]中发展的正则化理论是根本性的.

期权作为一种金融衍生产品，在欧美国家一直很受欢迎.由于其规避风险的特性，期权也吸引了中国投资者的兴趣.%基于市场的需求，2015年初，上海证券交易所推出了中国首批期权产品，期权定价问题的研究热潮正席卷全球.本文研究的美式回望期权，是一种路径相关的期权，其支付函数不仅依赖于标的资产的现值，也依赖其历史最值.分析回望期权的特点，不难发现：1）这类期权空间变量的变化范围为二维无界不规则区域，难以应用数值方法直接求解；2）最佳实施边界未知，使得该问题变得高度非线性.本文的主要工作就是解决这两个困难，得到回望期权和最佳实施边界的数值逼近结果.现有的处理问题1）的有效方法是采用标准变量替换、计价单位变换以及Landau变换将定价模型化为一个[0，1]区间上的非线性抛物问题，本文也将沿用这些技巧处理问题1）.进一步，采用有限元方法离散简化后的定价模型，并论证了数值解的非负性，提出了利用Newton法求解离散化的非线性系统.最后，通过数值模拟，验证了本文所提算法的高效性和准确性.

装箱问题在经济社会发展中扮演着重要的角色，该问题研究的是寻找较好的布局方式，尽可能实现利益的最大化.装箱问题具有NP-难性质，其理论和应用研究存在一定的挑战，但因其有广泛的应用背景而受到研究者高度的关注.本文主要总结近几十年来装箱问题的研究成果，特别针对一维、二维和三维单目标装箱问题和算法，以及多目标装箱问题的算法进行概括和总结，并提出装箱问题算法上有待进一步的研究工作.

本文利用间断有限元法求解非线性延迟微分方程，在拟等级网格下，给出非线性延迟微分方程间断有限元解的整体收敛阶和局部超收敛阶，数值实验验证了理论结果的正确性.

本文简述弱有限元方法（weak Galerkin finite element methods）的数学基本原理和计算机实现.弱有限元方法对间断函数引入广义弱微分，并将其应用于偏微分方程相应的变分形式进行数值求解，而数值解的弱连续性则通过稳定子或光滑子来实现.弱有限元方法针对广义函数而构建，是经典有限元方法的一种自然拓广，且能够弥补经典有限元方法的某些缺憾，也因此在科学与工程计算领域具有广泛的应用前景.

我们基于四维空间一般单纯形网格构造了一族可微的分片k（k>=17）次多项式有限元.这类光滑有限元空间具有最优阶逼近性.作为副产品，我们得到一族三维的四面体网格上C²-P_k有限元.

本文利用带约束非协调旋转Q₁元逼近Reissner-Mindlin板问题中旋度的两个分量，并分别选择Wilson元、双线性元和带约束非协调旋转Q₁元逼近挠度，相应地选取不连续的矢量值分片线性函数空间、最低阶旋转Raviart-Thomas元空间和矢量值分片常数函数空间为离散的剪应力空间，在矩形网格上构造了三个板元.通过证明一个离散的Korn不等式，并借助MITC4元的解构造了旋度、挠度和剪应力一个具有某种特殊且关键的可交换性的插值，再利用Helmholtz分解分析相容性误差，我们证明了这三个矩形元在能量范数意义下与板厚无关的一致最优收敛性.数值算例验证了我们的理论结果.

本文研究Sobolev方程的连续时空有限元方法.首先建立Sobolev方程的连续时空有限元格式，然后证明了解的存在唯一性和稳定性并给出连续时空有限元解各种范数下的误差估计.最后给出数值算例来验证理论分析的正确性，并进一步说明本文所建立的格式关于时间可以得到比传统有限元方法更高的精度.

有限元离散一类速度追踪问题后得到具有鞍点结构的线性系统，针对该鞍点系统，本文提出了一种新的分裂迭代技术.证明了新的分裂迭代方法的无条件收敛性，详细分析了新的分裂预条件子对应的预处理矩阵的谱性质.数值结果验证了对于大范围的网格参数和正则参数，新的分裂预条件子在求解有限元离散速度追踪问题得到的鞍点系统时的可行性和有效性.

研究如下界约束下算子方程最小二乘问题：‖L（X：A₁，…，A_t；B₁，…，B_t）T‖²，其中‖.‖为Frobenius范数，L（X：A₁，…，A_t；B₁，…，B_t）为关于X的线性矩阵算子（或齐次线性变换），A_i∈R^p×m，B_j∈R^n×q i，j=1，…，n为算子L的系数矩阵，T为右端矩阵，Ω⊂R^m×n为界约束凸集合.提出了求解问题的条件梯度迭代算法及其简要收敛性分析，并给出条件梯度算法的几类加速形式.随机数据和图像恢复模型数据的实验结果表明说明算法是可行高效的.

目前，许多高精度差分格式，由于未成功地构造与其精度匹配的稳定的边界格式，不得不采用低精度的边界格式.本文针对对流扩散方程证明了存在一致四阶紧致格式，它的边界点的计算格式和内点的计算格式的截断误差主项保持一致，给出了具体内点和边界格式；并分析了此半离散格式的渐近稳定性.数值结果表明该格式是四阶精度；在对流占优情况下，本文边界格式的数值结果比四阶精度的显式差分格式的的数值结果的数值振荡小，取得了不错的效果，理论结果得到了数值验证；驱动方腔数值结果显示，本文对N-S方程的离散格式具有很好的可靠性，适合对复杂流体流动的数值模拟和研究.

本文提出了求解二阶椭圆问题的一类广义有限元方法，分析了广义有限元方法的优越性，证明了二阶椭圆问题的广义有限元方法具有比标准的Galerkin有限元方法更高阶的收敛速度，根据插值算子的性质，进一步证明了有限元解的亏量迭代校正收敛到广义有限元解，并用数值例子说明广义有限元方法是有效的.

对非定常Oseen方程最优控制问题分析了一种新型L²投影稳定化方法.空间采用工程上好用的多项式有限元P_l/P_l（l≥1）逼近，时间采用中心差分离散.该稳定化方法对速度和压力分别采用全局或局部L²投影，不仅绕开了inf-sup条件对等阶元的束缚，而且克服了雷诺数较大，对流占优造成的解的震荡.该方法特点是，所有计算只需要在同一套网格上执行，不需要嵌套的网格或将速度和压力的梯度投影到粗网格上进行计算.给出了详细的误差分析，误差结果与雷诺数一致，且数值解的L²误差与雷诺数无关.

本文，我们提出一种新的求解二维时谐Maxwell方程的H¹-协调节点连续混合有限元格式.由于加上若干稳定化项和投影项，得到的混合变分形式是稳定的.我们证明了双线性形式满足连续性，K^h-强制性和Inf-Sup条件，因此，解是存在唯一的.此外，我们也给出了拟优的误差估计和相应的收敛阶.

本文主要在带加性噪声随机分数阶微分方程的基础上，研究了一类更为困难的带乘性噪声随机分数阶微分方程Euler方法的弱收敛性与弱稳定性，并得到了类似的结论.首先构造了数值求解带乘性噪声随机分数阶微分方程的Euler方法，然后证明当分数阶α满足0< α< 1/2时，该方法是1/2-α阶弱收敛的和弱稳定的，文末数值试验的结果验证了理论结果的正确性.