在Riesz空间分数阶对流-扩散方程的数值求解中, 通过采用加权移位的Grünwald差分格式对其空间导数进行离散以及Crank-Nicolson 格式对其时间导数进行离散, 得到一个系数矩阵为单位矩阵与两个对称正定Toeplitz矩阵之和的线性方程组. 在本文中, 对该线性方程组, 利用其系数矩阵的结构,提出了一种$\tau$预处理矩阵, 并采用预处理共轭梯度法求解了该线性方程组. 理论分析给出了预处理后系数矩阵的谱分布以及条件数估计. 数值实验结果也说明了所构造的预处理矩阵在采用预处理共轭梯度法求解Riesz空间分数阶对流-扩散方程离散后得到的线性方程组的有效性.

相位恢复在多个不同领域均被提出，如量子力学、光学成像等.相位恢复即具有多种应用背景，亦具有丰富的数学内涵，因而近期该问题吸引了多个不同领域专家的关注，如计算数学、数据科学、最优化、代数几何等.本文将主要介绍相位恢复中的理论基础问题，特别是最少观测次数问题，并介绍求解相位恢复的模型性能，以及求解算法等.本文也介绍了一些当前相位恢复中研究的热点方向.

许多物理现象可以在数学上描述为受曲率驱动的自由界面运动,例如薄膜和泡沫的演变、晶体生长,等等.这些薄膜和界面的运动常依赖于其表面曲率,从而可以用相应的曲率流来描述,其相关自由界面问题的数值计算和误差分析一直是计算数学领域中的难点.参数化有限元法是曲率流的一类有效计算方法,已经能够成功模拟一些曲面在几类基本的曲率流下的演化过程.本文重点讨论曲率流的参数化有限元逼近,它的产生、发展和当前的一些挑战.

玻尔兹曼方程作为空气动理学中最基本的方程之一,是连接微观牛顿力学和宏观连续介质力学的重要桥梁.该方程描述了一个由大量粒子组成的复杂系统的非平衡态时间演化:除了基本的输运项,其最重要的特性是粒子间的相互碰撞由一个高维,非局部且非线性的积分算子来描述,从而给玻尔兹曼方程的数值求解带来非常大的挑战.在过去的二十年间,基于傅里叶级数的谱方法成为了数值求解玻尔兹曼方程的一种很受欢迎且有效的确定性算法.这主要归功于谱方法的高精度及它可以被快速傅里叶变换加速的特质.本文将回顾玻尔兹曼方程的傅里叶谱方法,具体包括方法的导出,稳定性和收敛性分析,快速算法,以及在一大类基于碰撞的空气动理学方程中的推广.

原子间相互作用建模是分子动力学模拟的核心问题之一.基于第一性原理的建模准而不快，经验势模型快而不准，因此人们长期面临精度和效率只得其一的两难困境.基于机器学习的原子间相互作用建模在达到第一性原理精度的同时，计算开销大大降低，因而有希望解决这一两难困境.本文将介绍构造基于机器学习的原子间相互作用模型的一般框架，归纳近年来的主要建模工作，并探讨这些工作的优势和劣势.

本文讨论双曲型守恒律方程的熵稳定格式.对于给定的熵对，格式所满足的熵条件中的数值熵通量是不唯一的.Tadmor的充分条件可以唯一地确定标量方程的熵守恒通量，但不能唯一确定方程组的熵守恒通量，却可以给出方程组的空间一阶精度的熵守恒格式.也讨论了在熵守恒通量上添加数值粘性得到的显式熵稳定格式需要满足的条件及常见的时间离散对熵守恒和熵稳定的影响.

很多交叉科学的实际问题在数学上都可以被归为求解具有多个变量的非线性函数或泛函的极小值问题, 如何有效地寻找其能量景观的全局极小和如何找到不同极小之间的关系是计算数学领域两个长久以来尚未解决的重要科学问题. 本文着重介绍近年来提出的“解景观”概念和方法. 我们将回顾解景观的概念、构建解景观的鞍点动力学方法、以及解景观在液晶和准晶方面的应用.

在电子结构计算领域, Kohn-Sham方程是最为广泛使用的数学模型之一. 然而, 由于现有的交换关联能近似仍存在缺陷, Kohn-Sham方程无法较好地描述强关联多电子体系. 近年来, 有学者从密度泛函理论的强相关极限出发, 提出了严格关联电子能量的优化模型. 该模型有望弥补Kohn-Sham方程的缺陷, 从而拓宽密度泛函理论的应用面. 由于在该模型中存在维数灾难, 近年来, 它的一些低维转化模型陆续被提出. 在本文中, 我们将介绍严格关联电子能量的优化模型、它的研究重点以及现有的一些低维转化模型. 我们也将介绍这些转化模型的数值求解方法, 并探讨未来的研究方向.

基于已有文献的研究成果及前期工作，我们考察了非线性弱奇性Volterra积分方程（VIE）的谱配置法，并对该方法进行了收敛性分析.得到的结论是数值误差呈谱收敛.误差收敛阶与配置点个数及方程解的正则性相关.数值实验也证实了这一结论.本文的方法解决了已有文献中类似数值方法（Allaei（2016），Sohrabi（2017））存在的问题.

基于HS共轭梯度法的结构，本文在弱假设条件下建立了一种求解凸约束伪单调方程组问题的迭代投影算法.该算法不需要利用方程组的任何梯度或Jacobian矩阵信息，因此它适合求解大规模问题.算法在每一次迭代中都能产生充分下降方向，且不依赖于任何线搜索条件.特别是，我们在不需要假设方程组满足Lipschitz条件下建立了算法的全局收敛性和R-线收敛速度.数值结果表明，该算法对于给定的大规模方程组问题是稳定和有效的.

针对低秩稀疏矩阵恢复问题的一个非凸优化模型，本文提出了一种快速非单调交替极小化方法.主要思想是对低秩矩阵部分采用交替极小化方法，对稀疏矩阵部分采用非单调线搜索技术来分别进行迭代更新.非单调线搜索技术是将单步下降放宽为多步下降，从而提高了计算效率.文中还给出了新算法的收敛性分析.最后，通过数值实验的比较表明，矩阵恢复的非单调交替极小化方法比原单调类方法更有效.

本文考虑了分布阶时间分数阶扩散波动方程，其中时间分数阶导数是在Caputo意义上定义的，其阶次$\alpha，\beta$分别属于（0，1）和（1，2）.文中提出了在计算上行之有效的数值方法来模拟分布阶时间分数阶扩散波动方程.在时间上，通过中点求积公式把分布阶项转换为多项的时间分数阶导数项，并且利用$L1$和$L2$公式来近似Caputo分数阶导数；空间上使用Galerkin有限元方法进行离散.给出了基于$H^1$范数的有限元解的稳定性和误差估计的详细证明，最后的数值算例结果说明了理论分析的正确性以及有效性.

对于求解大型稀疏连续Sylvester方程，Bai提出了非常有效的Hermitian和反Hermitian分裂（HSS）迭代法.为了进一步提高求解这类方程的效率，本文建立一种广义正定和反Hermitian分裂（GPSS）迭代法，并且提出不精确GPSS（IGPSS）迭代法从而可以降低计算成本.对GPSS迭代法及其不精确变体的收敛性作了详细分析.另外，建立一种超松弛加速GPSS（AGPSS）方法并且讨论了收敛性.数值结果表明了方法的高效性和鲁棒性.

本文采用Modulus-based变换将非线性互补问题转化为非光滑方程组，并将一种多步自适应Levenberg-Marquardt方法推广应用于求解所得的非光滑方程组，从而得到原问题的解.在适当条件下，本文证明了算法的全局收敛性.与一种已有的参数自适应Levenberg-Marquardt方法（PSA-LMM）相比较，数值实验结果表明了本文所提出的算法具有更好的效率.

本文提出了一种求解低秩张量填充问题的加速随机临近梯度算法.张量填充模型可以松弛为平均组合形式的无约束优化问题,在迭代过程中,随机选取该组合中的某一函数进行变量更新,有效减少了张量展开、矩阵折叠及奇异值分解带来的较大的计算花费.本文证明了算法的收敛率为$O (1/k^{2})$.最后,随机生成的和真实的张量填充实验结果表明新算法在CPU时间上优于现有的三种算法.

信赖域方法是求解非线性方程组的一种重要方法.本文研究了求解非线性方程组的信赖域半径趋于零的信赖域算法在Jacobi矩阵Hölderian连续条件下的全局收敛性质，以及其在Hölderian局部误差界和Jacobi矩阵Hölderian连续条件下的收敛速度.

本文利用多边形网格上的间断有限元方法离散二阶椭圆方程,在曲边区域上,采用多条直短边逼近曲边的以直代曲的策略,实现了高阶元在能量范数下的最优收敛.本文还将这一方法用于带曲边界面问题的求解,同样得到高阶元的最优收敛.此外我们还设计并分析了这一方法的\linebreakW-cycle和Variable V-cycle多重网格预条件方法,证明当光滑次数足够多时,多重网格预条件算法一致收敛.最后给出了数值算例,证实该算法的可行性并验证了理论分析的结果.

卷积位势广泛存在于科学和工程领域, 它的高效高精度计算往往是数值仿真的瓶颈.卷积位势是典型的非局部积分, 卷积核函数通常在原点或者无穷远处具有奇异性,密度函数是光滑速降函数并可能具有较强的各向异性. 无论是从卷积还是从傅里叶积分出发,我们首先将全空间截断到有界矩形区域并将其等距离散, 再应用傅里叶谱方法来高精度逼近密度函数.理想的求解器需要在保证高精度的同时, 尽可能提高计算效率, 并妥善处理各向异性密度函数的情形.本文详细回顾了目前流行的三类基于积分方程的高精度快速算法, 包括基于非均匀快速傅里叶变换的算法、基于高斯和的算法与核截断算法. 它们都能达到谱精度, 计算效率都类似于离散快速傅里叶变换(FFT), 并都能处理各向异性的密度函数. 这三类算法具有离散卷积结构;一旦生成了离散张量, 位势的计算将转化为两倍长度向量的傅里叶变换, 计算效率达到了近似最优,且与各向异性强度无关.最后我们介绍了误差估计的已有结果, 并用实例从精度、效率和各向异性等方面展示了算法能力.

应用求解算子方程的Ulm方法构造了求解一类矩阵特征值反问题（IEP）的新算法.所给算法避免了文献[Aishima K.，A quadratically convergent algorithm based on matrix equations for inverse eigenvalue problems，Linear Algebra and its Applications，2018，542：310-33]中算法在每次迭代中要求解一个线性方程组的不足，证明了在给定谱数据互不相同的条件下所给算法具有根收敛意义下的二次收敛性.数值实验表明本文所给算法在矩阵阶数较大时计算效果优于上文所给算法.

本文针对带有随机杨氏模量和荷载的平面线弹性问题，提出了一类随机弱Galerkin有限元方法.先利用Karhunen-Loève展开把随机项参数化，将方程转化为一个确定性问题；再采用弱Galerkin有限元法和$k$-/$p$-型方法分别离散空间区域和随机场.在弱Galerkin离散中，用分片$s（s\geqslant 1$）和$s+1$次多项式逼近单元内部的应力和位移，用分片$s$次多项式逼近位移在单元边界上的迹.证明了该方法关于空间网格尺度最优且与Lamé常数$\lambda$一致无关的误差估计.最后通过数值算例验证了理论结果.

本文提出求解数学物理方程大型离散特征值问题的几何网格预变换块因式分解算法(简称GPA算法).
通过长期研究我们发现:结构化网格矩阵$G$满足幂等方程$G^m=I_N,(m\ll N={\rm dim}(G))$,故可在实数域或复数范围内进行因式分解;且$G$与有限元刚度矩阵$A$之间乘法存在互易性:$A\cdot G=G\cdot A$,利用$G$的几何不变性可把$N$阶大型矩阵$A$正交分解为$m-$块对角块矩阵异步并行是我们算法的计算数学基础.
本文以正三角形、方形、平行六边形及正十七边形等结构化网格为例,特别是详细分析了六边形上的离散特征值异步并行算法及程序实现细节.文后附有若干2-3万阶量级离散矩阵特征值的桌面电脑数值计算例子(正三角形与方形网格,串行加速比分别为3-4倍),符合本文算法分析得出的"几何网格预处理的并行度与正多边形边数成正比"的结论.这类几何网格因式分解算法原则上可推广到三维乃至高维数学物理方程离散特征值计算问题，也可用于大型线性方程组的高效并行求解.

为了高效求解中小型线性互补问题，本文提出了改进的分块模方法，并证明了关于严格对角占优（对角元素均为正数）线性互补问题的收敛性.对于广义对角占优线性互补问题，先将其转化为严格对角占优线性互补问题，再采用改进的分块模方法求解.数值结果表明，改进的分块模方法在求解广义对角占优线性互补问题时在内迭代次数和计算时间上均明显优于分块模方法.

本文主要研究状态转换下欧式Merton跳扩散期权定价模型的拟合有限体积方法.针对该定价模型中的偏积分-微分方程，空间方向采用拟合有限体积方法离散，时间方向构造Crank-Nicolson格式.理论证明了数值格式的一致性、稳定性和单调性，因此收敛至原连续问题的解.数值实验验证了新方法的稳健性，有效性和收敛性.

增广拉格朗日方法是求解带线性约束的凸优化问题的有效算法.线性化增广拉格朗日方法通过线性化增广拉格朗日函数的二次罚项并加上一个临近正则项,使得子问题容易求解,其中正则项系数的恰当选取对算法的收敛性和收敛速度至关重要.较大的系数可保证算法收敛性,但容易导致小步长.较小的系数允许迭代步长增大,但容易导致算法不收敛.本文考虑求解带线性等式或不等式约束的凸优化问题.我们利用自适应技术设计了一类不定线性化增广拉格朗日方法,即利用当前迭代点的信息自适应选取合适的正则项系数,在保证收敛性的前提下尽量使得子问题步长选择范围更大,从而提高算法收敛速度.我们从理论上证明了算法的全局收敛性,并利用数值实验说明了算法的有效性.

多重线性系统在当今的工程计算和数据挖掘等领域有很多实际应用,许多问题可以转化为多重线性系统求解问题.在本文中,我们首先提出了一种新的迭代算法来求解系数张量为M-张量的多重线性系统,在此基础上又提出了一种新的改进算法,并对两种算法的收敛性进行了分析.数值算例的结果表明,本文提出的两种算法是有效的并且改进算法的迭代时间更少.

本文将局部投影稳定化（LPS）方法和连续时空有限元方法相结合研究对流扩散反应方程，给出稳定化连续时空有限元离散格式.与传统的时空有限元研究思路不同，时间方向利用Lagrange插值多项式，解耦时间和空间变量，降低时空有限元解的维数，具有减少计算量和简化理论分析的优点.通过引入Legendre多项式给出了有限元解的稳定性分析，进一步引进Lobatto多项式证明了有限元解的全局L^∞（L²）和局部L²（J_n；LPS）范数误差估计.最后给出数值算例验证理论分析的正确性，以及稳定化格式的可行性和有效性.

基于指数罚函数,对最近提出的一种求解无约束优化问题的三项共轭梯度法进行了修正,并用它求解更复杂的大规模极大极小值问题.证明了该方法生成的搜索方向对每一个光滑子问题是充分下降方向,而且与所用的线搜索规则无关.以此为基础,设计了求解大规模极大极小值问题的算法,并在合理的假设下,证明了算法的全局收敛性.数值实验表明,该算法优于文献中已有的类似算法.

ADMM 算法是求解可分离凸优化问题的经典算法之一, 但其无法保证原始迭代序列的收敛性且其子问题计算量很大. 为了保证该算法所有迭代点列的全局收敛性及提高计算效率, 采用凸组合技术的黄金比率邻近ADMM 算法被提出, 其中凸组合因子$\psi$ 是关键参数. 本文在黄金比率邻近ADMM 算法的基础上, 扩大了凸组合因子$\psi$ 的取值范围, 提出了收敛步长范围更广的推广黄金比率邻近ADMM 算法. 并在一定的假设下, 证明了算法的全局收敛性及函数值残差和约束违反度在遍历意义下的$\mathcal{O}(1/N)$ 次线性收敛速度. 以及, 当目标函数中任意一个函数强凸时, 证明了算法在遍历意义下的$\mathcal{O}(1/N^2)$ 收敛率. 最后, 本文通过数值试验表明推广算法的有效性.

针对奇异摄动对流扩散边界层问题, 应用多尺度有限元法结合自适应的分层网格提出逼近理论并进行数值模拟. 多尺度有限元法仅需在粗尺度规模展开运算, 通过多尺度基函数建立尺度之间的映射关系, 实现从微观到宏观的数据嵌入. 再结合分层网格用于粗单元离散化, 能够自适应地逼近边界层. 理论证明了多尺度有限元解的能量范数误差估计具有稳定性和超收敛, 数值验证了其精确高效的一致超收敛结果.

本文研究了数值求解非自治随机微分方程的正则Euler-Maruyama分裂（CEMS）方法，该方程的漂移项系数带有刚性且允许超线性增长，扩散项系数满足全局Lipschitz条件.首先，证明了CEMS方法的强收敛性及收敛速度.其次，证明了在适当条件下CEMS方法是均方稳定的.进一步，利用离散半鞅收敛定理，研究了CEMS方法的几乎必然指数稳定性.结果表明，CEMS方法在漂移系数的刚性部分满足单边Lipschitz条件下可保持几乎必然指数稳定性.最后通过数值实验，检验了CEMS方法的有效性并证实了我们的理论结果.

本文构建一类双参数拟Toeplitz分裂（TQTS）迭代方法求解变系数非定常空间分数阶扩散方程.TQTS迭代法是基于QTS迭代法引入双参技术建立而成，通过选取适当的参数使迭代矩阵谱半径变得更小，从而有效提升收敛的速度.然后对TQTS迭代法进行收敛性分析，获得相应的收敛区域，并对迭代法中涉及的参数进行讨论，获得使迭代矩阵谱半径上界达到最小的最优参数的表达式.最后通过数值仿真实验验证TQTS迭代法的有效性，实验结果表明TQTS迭代法改进效果十分突出，在迭代时间和步数上均有明显的减小.

本文研究跳适应向后Euler方法求解跳扩散随机微分方程在非全局Lipschitz条件下的强收敛性.通过克服方程非全局Lipschitz系数给收敛性分析带来的主要困难,我们成功地建立了跳适应后向Euler方法的强收敛性结果并得到相应的收敛率.最后,我们通过数值试验对前文所得理论结果做进一步的验证.

针对带跳随机波动率模型满足的偏积分微分方程,提出一种新的高阶交替方向隐式（ADI）有限差分格式,该模型是一个具有混合导数和非常数系数的对流扩散型初边值问题.我们将不同的高阶空间离散与时间步ADI分裂格式相结合,得到了一种空间四阶精度、时间二阶精度的有效方法,并采用Fourier方法分析了高阶ADI格式的稳定性.最后,通过对欧式看跌期权定价模型进行数值实验证实了数值方法的高阶收敛性.

本文提出了求解张量互补问题的一类光滑模系矩阵迭代方法.其基本思想是,先将张量互补问题转化为等价的模系方程组,然后引入一个逼近的光滑函数进行求解.我们分析了算法的收敛性,并通过数值实验验证了所提出算法的有效性.

本文针对广义绝对值方程,提出了基于牛顿法的矩阵多分裂方法.并在该方法的基础上进一步改进,得到了基于牛顿法的交替矩阵多分裂方法.给出两种算法在一定条件下的全局收敛性,并分析当分裂为H分裂时，基于牛顿法的矩阵多分裂方法的收敛条件.通过数值实验验证了所提出的算法的可行性和有效性.

应用共轭梯度方法和线性投影算子,给出迭代算法求解了线性矩阵方程AX=B在任意线性子空间上的最小二乘解问题.在不考虑舍入误差的情况下,可以证明,所给迭代算法经过有限步迭代可得到矩阵方程AX=B的最小二乘解、极小范数最小二乘解及其最佳逼近.文中的数值例子证实了该算法的有效性.

针对一类变延迟微分方程，应用全隐式方法—平衡方法，研究了其收敛性和稳定性.结果表明平衡方法以$\frac{1}{2}\gamma，\gamma\in（0，1]$阶收敛到精确解；并且强平衡方法和弱平衡方法都能保持解析解的均方稳定性；进一步数值实验验证了算法理论分析的正确性，并且表明全隐式的平衡方法比显式方法—Euler方法具有更好的稳定性.

通过在空间方向上使用双线性元和最低阶的 Nedeléc 元 (即Q₁₁ + Q₀₁ × Q₁₀)以及在时间方向上使用二阶精度的数值逼近格式, 得到了在矩形网格上二阶双曲方程全离散混合元格式下的对原始变量的L^∞(H¹) 和流量的L^∞((L²)²)的超逼近和超收敛的误差结果. 在分析过程中, 巧妙地使用了上述混合单元对在矩形网格上的特有的高精度积分恒等式和精确解的投影和插值之间的在H¹范数意义下的超逼近的估计. 最后, 给出一些数值结果来验证理论分析的正确性.

本文研究球面上的$\ell_1$正则优化问题，其目标函数由一般光滑函数项和非光滑$\ell_1$正则项构成，且假设光滑函数的随机梯度可由随机一阶oracle估计.这类优化问题被广泛应用在机器学习，图像、信号处理和统计等领域.根据流形临近梯度法和随机梯度估计技术，提出一种球面随机临近梯度算法.基于非光滑函数的全局隐函数定理，分析了子问题解关于参数的Lipschtiz连续性，进而证明了算法的全局收敛性.在基于随机数据集和实际数据集的球面$\ell_1$正则二次规划问题、有限和SPCA问题和球面$\ell_1$正则逻辑回归问题上数值实验结果显示所提出的算法与流形临近梯度法、黎曼随机临近梯度法相比CPU时间上具有一定的优越性.