本文研究非定常Stokes方程的有限体积元方法,给出一种基于两个局部高斯积分的稳定化全离散格式,并给其有限体积元解的误差分析.

文中给出了垂直线性互补问题的一个新的光滑价值函数, 不同于光滑化方法中的价值函数, 它不包含任何必须趋向零的参数, 因此算法中不
 涉及参数调整步骤,而且具有良好的强制性. 基此价值函数, 提出了求解垂直线性  互补问题的一种阻尼 Newton类算法, 并证明了该算法对竖块$P_0 + R_0 $矩阵的垂直线性互补问题具有全局 收敛性; 当解满足相当于BD-正则条件时, 算法具有局部二次收敛性; 在不增加额外校正步 骤( 算法的每个迭代步只求解一个Newton方程)的情形下, 算法对竖块$P$-矩阵垂直线性互 补问题(无须假设严格互补), 具有有限步收敛性.数值实验结果令人满意.

Parareal 算法是一种非常有效的实时并行计算方法. 与传统的并行计算方法相比,该算法的显著特点是它的时间并行性 | 先将整个计算时间划分成若干个子区间,然后在每个子区间内同时进行计算. Parareal算法收敛速度快, 并行效率高, 且易于编程实现, 从 2001 年由 Lions,Maday 和 Turinici等人首次提出至今, 在短短的几年间得到了广泛的研究和应用. 最近, Parareal 算法在随机微分方程数值解中的应用也得到了一些学者的关注. 本文中, 我们研究 Parareal算法在随机微分方程数值解中的均方稳定性, 分析保持算法稳定的充分性条件. 通过分析, 我们得到了如下结论: a)Parareal 算法在有限时间区间内是超线性收敛的; b)在无限时间区间内, 该算法是线性收敛的. 最后, 通过数值试验, 我们验证了本文中的理论结果.

多层快速多极子方法(MLFMM)可用来加速迭代求解由Maxwell方程组 或Helmholtz方程导出的积分方程,其复杂度理论上是O(Nlog N), N为未知量个数. MLFMM依赖于快速计算每层的转移项, 以及上聚和下推过程中的层间插值.本文引入计算类似N体问题的一维快速多极 子方法(FMM1D).基于FMM1D的快速Lagrange插值算法可将转移项的计算复杂度由O(N^1.5)降低到O(N).运用FMM1D与FFT混合的快速谱插值算法可将层间插值的计算复杂度由O(K²)降低到O(Klog L), K为插值取样点数.数值结果显示了基于这两种快速插值的MLFMM具有近似线性的时间复杂度.

给出一种带有参数的有理三次三角Hermite插值样条, 具有标准三次Hermite插值样条相似的性质. 利用参数的不同取值不但可以调控插值曲线的形状, 而且比标准三次Hermite插值样条更好地逼近被插曲线. 此外, 选择合适的控制点, 该种插值样条可以精确表示星形线和四叶玫瑰线等超越曲线.

本文讨论一般非线性随机延迟微分方程Heun方法的数值稳定性,证明了如果问题本身满足零解是均方指数稳定和均方渐近稳定的充分条件,则当方程的漂移项进一步满足一定的条件时,Heun方法是MS-稳定的, 带线性插值的Heun方法是均方指数稳定的和GMS-稳定的理论结果. 文末的数值试验进一步验证了所得的相关结论.

本文对耗散对称正则长波方程的初边值问题进行了数值研究, 提出了一个两层隐式Crank-Nicolson差分格式, 讨论了差分解的存在唯一性, 并利用能量方法分析了该格式的二阶收敛性与稳定性, 数值算例表明本文的格式是可靠的.

本文讨论求解刚性随机延迟微分方程的平衡方法.证明了随机延迟微分方程平衡方法的均方收敛阶为 1/2.给出了线性随机延迟微分方程平衡方法均方稳定的条件.

本文指出了频域划分和拓扑群之间的联系,给出了构造 shearlet 框架的一般方法, 并具体地构造出了一个衰减性良好的shearlet 函数. 在数值计算方面,本文提出了框架系数的计算方法和基于此方法的图像重构算法.最后的数值实验说明本文构造的 shearlet 在图像重构方面表现良好.

本文对于无界区域各向异性常系数椭圆型偏微分方程研究了一种基于自然边界归化的Schwarz 交替法. 利用极值原理证明了在连续情形最大
模意义下的几何迭代收敛性, 通过选取适当的共焦椭圆边界利用Fourier分析获得了不依赖各向异性程度的最优的迭代收缩因子. 还在离散情形最大模意义下证明了几何收敛性, 而且进一步得到了误差估计. 最后, 数值结果证实了迭代收缩因子和误差估计的正确性, 表明了该方法在无界区域上求解各向异性椭圆型偏微分方程的优越性.

本文对Darcy-Stokes问题提出了一种统一的稳定化有限体积法.在离散问题中, 采用两种剖分, 一种为三角形剖分, 一种为其对偶四边形剖分. 速度及压力分别采用非协调线性元及分片常数元来做逼近. 经证明, 文中的统一格式, 具有稳定性及最优误差估计. 最后用数值算例验证了本文的理论结果.

本文研究矩阵方程$X+A^{*}X^{-q}A=Q(q\geq 1)$的Hermitian正定解, 给出了存在正定解的充分条件和必要条件, 构造了求解的迭代方法. 最后还用数值例子验证了迭代方法的可行性和有效性.

为解决较为复杂的三变量散乱数据插值问题,提出了一种三元多项式自然样条插值方法.在使得对一种带自然边界条件的目标泛函极小的情况下,用Hilbert空间样条函数方法,构造出了插值问题的解,并可表为一个分块三元三奇次多项式.其表示形式简单,且系数可由系数矩阵对称的线性代数方程组确定.

利用带参数的仅以被插函数的函数值作为插值条件的一元有理插值方法,构造了一种分母为双二次的仅基于函数值的二元有理双三次插值函数,
插值函数具有简洁的显示表示.插值函数中含有四个参数,当这些参数满足一定条件时,插值曲面在插值区域上$C^1$ 光滑.由于插值函数中含有参数,这样可以在插值数据不变的情况下通过对参数的选择进行插值曲面的局部修改.最后讨论了插值函数的一些性质.

本文针对一种电磁场问题的第二类Nedelec 棱有限元方程组, 通过建立该棱有限元空间的一种新的稳定性分解, 分别设计了求解棱元方程组的预条件子和迭代算法, 并且在理论上严格证明了预条件子的条件数和迭代算法的收敛率均不依赖于网格的规模. 数值实验验证了理论的正确性.

超奇异积分的数值计算是边界元方法中的重要的课题之一,本文得到了牛顿科茨公式计算任意阶超奇异积分误差估计, 当误差函数中的S_k^(p)(τ)=0 时,便得到超收敛现象,并给出了S_k^(p)(τ) 之间的相互关系.相应的数值算例验证了理论分析的正确性.

本文提出了求解非线性方程组的一种新的全局收敛的Levenberg-Marquardt算法,即$\mu_k=\alpha_k(\theta\|F_k\|+(1-\theta)\|J_k^TF_k\|), \theta\in[0,1],$ 其中$\alpha_k$利用信赖域技巧来修正. 在不必假设雅可比矩阵非奇异的局部误差界条件下,证明了该算法是全局收敛和局部二次收敛的. 数值试验表明该算法能有效地求解奇异非线性方程组问题.

本文研究一类二维半线性反应扩散方程的差分方法. 构造了一个二层线性化交替方向隐格式. 利用离散能量估计方法证明了差分格式解的存在唯一性、差分格式在离散$H^1$模下的二阶收敛性和稳定性.最后给出两个数值例子验证了理论分析结果.

本文研究非自共轭椭圆特征值问题有限元插值校正方案.基于插值校正和广义Rayleigh商加速技巧, 用三角形线性元二次插值、双二次元双四次插值得到了较好的结果,并用三线性元的三二次插值将插值校正推广到三维.

通过将非单调 Wolfe 线搜索技术与传统的信赖域算法相结合, 我们提出了一类新的求解无约束最优化问题的信赖域算法.新算法在每一迭代步只需求解一次信赖域子问题, 而且在每一迭代步 Hesse 阵的近似都满足拟牛顿条件并保持正定传递.在一定条件下, 证明了算法的全局收敛性和强收敛性. 数值试验表明新算法继承了非单调技术的优点, 对于求解某些优化问题具有重要意义.

研究了四阶重调和问题在各向异性网格下的双三次Hermite元的有限元方法.通过引入新的思路与技巧,得到了与传统的正则剖分下完全相同的收敛性和超逼近结果.并且给出了相应的数值算例,验证了理论分析的正确性.其结果说明传统有限元分析中的剖分正则性条件不是必要的,从而对进一步设计四阶问题的自适应算法和后验估计具有参考价值.

考虑非线性矩阵方程X-A~*X~(-1)A=Q,其中A是n阶复矩阵,Q是n阶Hermite正定解,A~*是矩阵A的共轭转置.本文证明了此方程存在唯一的正定解,并推导出此正定解的扰动边界和条件数的显式表达式.以上结果用数值例子加以说明.

本文提出仿射内点离散共轭梯度路径法解有界约束的非线性优化问题. 通过构造预条件离散的共轭梯度路径解二次模型获得预选迭代方向, 结合内点回代线搜索获得下一步的迭代. 在合理的假设条件下, 证明了算法的整体收敛性与局部超线性收敛速率. 最后, 数值结果表明了算法的有效性.

本文研究空气污染方程,导出其全离散化的混合元格式,证明该格式的全离散化混合元解的存在性和收敛性(误差估计).

本文给出一个求解非线性对称方程组问题的修改的信赖域方法,在适当的条件下我们将建立此方法的全局收敛性.对给定的问题而言,数值结果表明此方法是有效的.

本文利用投影型插值和Ritz-Volterra投影研究一维变系数抛物方程的有限元方法,直接得到导数和位移的一个强校正格式.对于有限元解,分别对应力和位移获得整体的hk+2和hk+3阶的强结果.