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    机器学习原子间相互作用建模
    王涵
    2021, 43 (3): 261-278.   DOI: 10.12286/jssx.j2021-0833
    摘要568)      PDF (705KB)(552)   
    原子间相互作用建模是分子动力学模拟的核心问题之一.基于第一性原理的建模准而不快,经验势模型快而不准,因此人们长期面临精度和效率只得其一的两难困境.基于机器学习的原子间相互作用建模在达到第一性原理精度的同时,计算开销大大降低,因而有希望解决这一两难困境.本文将介绍构造基于机器学习的原子间相互作用模型的一般框架,归纳近年来的主要建模工作,并探讨这些工作的优势和劣势.
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    相位恢复:理论、模型与算法
    许志强
    2022, 44 (1): 1-18.   DOI: 10.12286/jssx.j2021-0855
    摘要549)      PDF (660KB)(568)   
    相位恢复在多个不同领域均被提出,如量子力学、光学成像等.相位恢复即具有多种应用背景,亦具有丰富的数学内涵,因而近期该问题吸引了多个不同领域专家的关注,如计算数学、数据科学、最优化、代数几何等.本文将主要介绍相位恢复中的理论基础问题,特别是最少观测次数问题,并介绍求解相位恢复的模型性能,以及求解算法等.本文也介绍了一些当前相位恢复中研究的热点方向.
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    双曲型守恒律方程的熵稳定格式的一些讨论
    汤华中
    2021, 43 (4): 413-425.   DOI: 10.12286/jssx.j2021-0798
    摘要246)      PDF (435KB)(340)   
    本文讨论双曲型守恒律方程的熵稳定格式.对于给定的熵对,格式所满足的熵条件中的数值熵通量是不唯一的.Tadmor的充分条件可以唯一地确定标量方程的熵守恒通量,但不能唯一确定方程组的熵守恒通量,却可以给出方程组的空间一阶精度的熵守恒格式.也讨论了在熵守恒通量上添加数值粘性得到的显式熵稳定格式需要满足的条件及常见的时间离散对熵守恒和熵稳定的影响.
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    曲率流的参数化有限元逼近
    李步扬
    2022, 44 (2): 145-162.   DOI: 10.12286/jssx.j2021-0871
    摘要189)      PDF (2368KB)(345)   
    许多物理现象可以在数学上描述为受曲率驱动的自由界面运动,例如薄膜和泡沫的演变、晶体生长,等等.这些薄膜和界面的运动常依赖于其表面曲率,从而可以用相应的曲率流来描述,其相关自由界面问题的数值计算和误差分析一直是计算数学领域中的难点.参数化有限元法是曲率流的一类有效计算方法,已经能够成功模拟一些曲面在几类基本的曲率流下的演化过程.本文重点讨论曲率流的参数化有限元逼近,它的产生、发展和当前的一些挑战.
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    非线性特征值问题平移对称幂法的收敛率估计
    唐耀宗, 杨庆之
    2021, 43 (4): 529-538.   DOI: 10.12286/jssx.j2020-0713
    摘要166)      PDF (363KB)(88)   
    平移对称幂法(SS-HOPM)在求解源自玻色-爱因斯坦凝聚态的非线性特征值问题时,不仅具有较高的计算效率,而且具有点列收敛性,但其收敛率尚未得到有效估计.本文通过将多项式Kurdyka-Łojasiewicz(K-Ł)指数界的相关结果应用到所涉及优化问题的Lagrange函数上,得到了平移对称幂法的次线性收敛率估计,从理论上解释了平移对称幂法的计算效率.
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    非自治刚性随机微分方程正则EM分裂方法的收敛性和稳定性
    余妍妍, 代新杰, 肖爱国
    2022, 44 (1): 19-33.   DOI: 10.12286/jssx.j2020-0748
    摘要136)      PDF (542KB)(115)   
    本文研究了数值求解非自治随机微分方程的正则Euler-Maruyama分裂(CEMS)方法,该方程的漂移项系数带有刚性且允许超线性增长,扩散项系数满足全局Lipschitz条件.首先,证明了CEMS方法的强收敛性及收敛速度.其次,证明了在适当条件下CEMS方法是均方稳定的.进一步,利用离散半鞅收敛定理,研究了CEMS方法的几乎必然指数稳定性.结果表明,CEMS方法在漂移系数的刚性部分满足单边Lipschitz条件下可保持几乎必然指数稳定性.最后通过数值实验,检验了CEMS方法的有效性并证实了我们的理论结果.
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    四阶不完全对称张量M-特征值的新包含域及应用
    何军, 刘衍民, 许光俊
    2021, 43 (4): 457-470.   DOI: 10.12286/jssx.j2020-0667
    摘要134)      PDF (484KB)(76)   
    四阶不完全对称张量的M-特征值在非线性弹性材料分析中有着广泛的应用.本文的目的是给出四阶不完全对称张量M-特征值的新包含域,得到最大M-特征值上界更精确的估计,并将得到的上界估计值应用到计算最大M-特征值的WQZ算法中,数值例子验证了结果的有效性.最后,基于得到的包含域,给出了四阶不完全对称张量正定性判定的充分条件.
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    低秩稀疏矩阵恢复的快速非单调交替极小化方法
    孙青青, 王川龙
    2021, 43 (4): 516-528.   DOI: 10.12286/jssx.j2020-0712
    摘要133)      PDF (513KB)(147)   
    针对低秩稀疏矩阵恢复问题的一个非凸优化模型,本文提出了一种快速非单调交替极小化方法.主要思想是对低秩矩阵部分采用交替极小化方法,对稀疏矩阵部分采用非单调线搜索技术来分别进行迭代更新.非单调线搜索技术是将单步下降放宽为多步下降,从而提高了计算效率.文中还给出了新算法的收敛性分析.最后,通过数值实验的比较表明,矩阵恢复的非单调交替极小化方法比原单调类方法更有效.
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    分布阶扩散—波动方程的有限元解的误差估计
    高兴华, 李宏, 刘洋
    2021, 43 (4): 493-505.   DOI: 10.12286/jssx.j2020-0701
    摘要132)      PDF (570KB)(114)   
    本文考虑了分布阶时间分数阶扩散波动方程,其中时间分数阶导数是在Caputo意义上定义的,其阶次$\alpha,\beta$分别属于(0,1)和(1,2).文中提出了在计算上行之有效的数值方法来模拟分布阶时间分数阶扩散波动方程.在时间上,通过中点求积公式把分布阶项转换为多项的时间分数阶导数项,并且利用$L1$和$L2$公式来近似Caputo分数阶导数;空间上使用Galerkin有限元方法进行离散.给出了基于$H^1$范数的有限元解的稳定性和误差估计的详细证明,最后的数值算例结果说明了理论分析的正确性以及有效性.
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    改进的分块模方法求解对角占优线性互补问题
    张丽丽, 任志茹
    2021, 43 (3): 401-412.   DOI: 10.12286/jssx.j2021-0774
    摘要132)      PDF (449KB)(141)   
    为了高效求解中小型线性互补问题,本文提出了改进的分块模方法,并证明了关于严格对角占优(对角元素均为正数)线性互补问题的收敛性.对于广义对角占优线性互补问题,先将其转化为严格对角占优线性互补问题,再采用改进的分块模方法求解.数值结果表明,改进的分块模方法在求解广义对角占优线性互补问题时在内迭代次数和计算时间上均明显优于分块模方法.
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    随机平面线弹性问题的一类弱Galerkin方法
    陈明卿, 谢小平
    2021, 43 (3): 279-300.   DOI: 10.12286/jssx.j2019-0652
    摘要128)      PDF (603KB)(191)   
    本文针对带有随机杨氏模量和荷载的平面线弹性问题,提出了一类随机弱Galerkin有限元方法.先利用Karhunen-Loève展开把随机项参数化,将方程转化为一个确定性问题;再采用弱Galerkin有限元法和$k$-/$p$-型方法分别离散空间区域和随机场.在弱Galerkin离散中,用分片$s(s\geqslant 1$)和$s+1$次多项式逼近单元内部的应力和位移,用分片$s$次多项式逼近位移在单元边界上的迹.证明了该方法关于空间网格尺度最优且与Lamé常数$\lambda$一致无关的误差估计.最后通过数值算例验证了理论结果.
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    一种求解非线性互补问题的多步自适应Levenberg-Marquardt算法
    胡雅伶, 彭拯, 章旭, 曾玉华
    2021, 43 (3): 322-336.   DOI: 10.12286/jssx.j2019-0615
    摘要126)      PDF (471KB)(166)   
    本文采用Modulus-based变换将非线性互补问题转化为非光滑方程组,并将一种多步自适应Levenberg-Marquardt方法推广应用于求解所得的非光滑方程组,从而得到原问题的解.在适当条件下,本文证明了算法的全局收敛性.与一种已有的参数自适应Levenberg-Marquardt方法(PSA-LMM)相比较,数值实验结果表明了本文所提出的算法具有更好的效率.
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    连续Sylvester方程的广义正定和反Hermitian分裂迭代法及其超松弛加速
    李旭, 李明翔
    2021, 43 (3): 354-366.   DOI: 10.12286/jssx.j2019-0630
    摘要125)      PDF (430KB)(170)   
    对于求解大型稀疏连续Sylvester方程,Bai提出了非常有效的Hermitian和反Hermitian分裂(HSS)迭代法.为了进一步提高求解这类方程的效率,本文建立一种广义正定和反Hermitian分裂(GPSS)迭代法,并且提出不精确GPSS(IGPSS)迭代法从而可以降低计算成本.对GPSS迭代法及其不精确变体的收敛性作了详细分析.另外,建立一种超松弛加速GPSS(AGPSS)方法并且讨论了收敛性.数值结果表明了方法的高效性和鲁棒性.
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    一类特征值反问题(IEP)的基于矩阵方程的Ulm型算法
    王艺宏, 李耀堂
    2021, 43 (4): 444-456.   DOI: 10.12286/jssx.j2020-0662
    摘要123)      PDF (360KB)(133)   
    应用求解算子方程的Ulm方法构造了求解一类矩阵特征值反问题(IEP)的新算法.所给算法避免了文献[Aishima K.,A quadratically convergent algorithm based on matrix equations for inverse eigenvalue problems,Linear Algebra and its Applications,2018,542:310-33]中算法在每次迭代中要求解一个线性方程组的不足,证明了在给定谱数据互不相同的条件下所给算法具有根收敛意义下的二次收敛性.数值实验表明本文所给算法在矩阵阶数较大时计算效果优于上文所给算法.
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    逆奇异值问题的一个二阶收敛算法
    魏水艳, 陈小山
    2021, 43 (4): 471-483.   DOI: 10.12286/jssx.j2020-0678
    摘要122)      PDF (355KB)(82)   
    设$n+1$个$m\times n(m\geq n)$实矩阵$\{A_i\}_{i=0}^n$和给定的$n$个正数$\{\sigma_i^{*}\}_{i=1}^n$.本文研究如下的逆奇异值问题:求$n$个实数$\{c_i^{*}\}_{i=1}^n$,使得矩阵$A_0+c_1^{*}A_1+\cdots +c_n^{*}A_n$有奇异值$\{\sigma_i^*\}_{i=1}^n.$基于矩阵方程,我们给出了求解逆奇异值问题的一个新的算法,并证明了它的二阶收敛特性.该算法可以看成是Aishima[Linear Algebra and its Applications,2018,542:310-333]中逆对称特征值问题算法的推广.数值例子表明算法的有效性.
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    关于“求解加权线性最小二乘问题的一类预处理GAOR方法”一文的注记
    缪树鑫
    2022, 44 (1): 89-96.   DOI: 10.12286/jssx.j2020-0707
    摘要121)      PDF (300KB)(102)   
    在"求解加权线性最小二乘问题的一类预处理GAOR方法"一文中,作者提出了求解加权线性最小二乘问题等价$2\times 2$块线性系统的一类预处理GAOR方法,并给出了几个比较定理来说明新提出预处理GAOR方法的优越性.本文我们将指出该文中几个比较定理的不完善之处和证明的错误之处,并给出正确的证明.
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    非线性弱奇性Volterra积分方程的谱配置法
    古振东
    2021, 43 (4): 426-443.   DOI: 10.12286/jssx.j2019-0642
    摘要111)      PDF (357KB)(209)   
    基于已有文献的研究成果及前期工作,我们考察了非线性弱奇性Volterra积分方程(VIE)的谱配置法,并对该方法进行了收敛性分析.得到的结论是数值误差呈谱收敛.误差收敛阶与配置点个数及方程解的正则性相关.数值实验也证实了这一结论.本文的方法解决了已有文献中类似数值方法(Allaei(2016),Sohrabi(2017))存在的问题.
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    基于分数阶扩散方程的离散线性代数方程组迭代方法研究
    邵新慧, 亢重博
    2022, 44 (1): 107-118.   DOI: 10.12286/jssx.j2020-0718
    摘要109)      PDF (467KB)(111)   
    本文构建一类双参数拟Toeplitz分裂(TQTS)迭代方法求解变系数非定常空间分数阶扩散方程.TQTS迭代法是基于QTS迭代法引入双参技术建立而成,通过选取适当的参数使迭代矩阵谱半径变得更小,从而有效提升收敛的速度.然后对TQTS迭代法进行收敛性分析,获得相应的收敛区域,并对迭代法中涉及的参数进行讨论,获得使迭代矩阵谱半径上界达到最小的最优参数的表达式.最后通过数值仿真实验验证TQTS迭代法的有效性,实验结果表明TQTS迭代法改进效果十分突出,在迭代时间和步数上均有明显的减小.
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    随机变延迟微分方程平衡方法的均方收敛性与稳定性
    包学忠, 胡琳
    2021, 43 (3): 301-321.   DOI: 10.12286/jssx.j2019-0610
    摘要109)      PDF (704KB)(108)   
    针对一类变延迟微分方程,应用全隐式方法—平衡方法,研究了其收敛性和稳定性.结果表明平衡方法以$\frac{1}{2}\gamma,\gamma\in(0,1]$阶收敛到精确解;并且强平衡方法和弱平衡方法都能保持解析解的均方稳定性;进一步数值实验验证了算法理论分析的正确性,并且表明全隐式的平衡方法比显式方法—Euler方法具有更好的稳定性.
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    被引次数: CSCD(1)
    带五次项的非线性Schrödinger方程的守恒差分格式
    张法勇, 安晓丽
    2022, 44 (1): 63-70.   DOI: 10.12286/jssx.j2019-0557
    摘要106)      PDF (329KB)(92)   
    本文研究带有五次项的非线性Schrödinger方程初边值问题的有限差分法,其中方程中二阶偏导数项的系数、五次项的系数及初值满足下面的条件(1.6).针对此问题,我们研究了一个守恒差分格式,在条件(1.6)下,差分解的$L^{\infty}$模先验估计被得到.在此基础上,我们得到了差分解最优$L^2$模的误差估计.
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