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    相位恢复:理论、模型与算法
    许志强
    2022, 44 (1): 1-18.   DOI: 10.12286/jssx.j2021-0855
    摘要970)      PDF (660KB)(840)   
    相位恢复在多个不同领域均被提出,如量子力学、光学成像等.相位恢复即具有多种应用背景,亦具有丰富的数学内涵,因而近期该问题吸引了多个不同领域专家的关注,如计算数学、数据科学、最优化、代数几何等.本文将主要介绍相位恢复中的理论基础问题,特别是最少观测次数问题,并介绍求解相位恢复的模型性能,以及求解算法等.本文也介绍了一些当前相位恢复中研究的热点方向.
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    曲率流的参数化有限元逼近
    李步扬
    2022, 44 (2): 145-162.   DOI: 10.12286/jssx.j2021-0871
    摘要472)      PDF (2368KB)(613)   
    许多物理现象可以在数学上描述为受曲率驱动的自由界面运动,例如薄膜和泡沫的演变、晶体生长,等等.这些薄膜和界面的运动常依赖于其表面曲率,从而可以用相应的曲率流来描述,其相关自由界面问题的数值计算和误差分析一直是计算数学领域中的难点.参数化有限元法是曲率流的一类有效计算方法,已经能够成功模拟一些曲面在几类基本的曲率流下的演化过程.本文重点讨论曲率流的参数化有限元逼近,它的产生、发展和当前的一些挑战.
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    非线性玻尔兹曼方程的傅里叶谱方法
    胡婧玮
    2022, 44 (3): 289-304.   DOI: 10.12286/jssx.j2021-0887
    摘要424)      PDF (1588KB)(478)   
    玻尔兹曼方程作为空气动理学中最基本的方程之一,是连接微观牛顿力学和宏观连续介质力学的重要桥梁.该方程描述了一个由大量粒子组成的复杂系统的非平衡态时间演化:除了基本的输运项,其最重要的特性是粒子间的相互碰撞由一个高维,非局部且非线性的积分算子来描述,从而给玻尔兹曼方程的数值求解带来非常大的挑战.在过去的二十年间,基于傅里叶级数的谱方法成为了数值求解玻尔兹曼方程的一种很受欢迎且有效的确定性算法.这主要归功于谱方法的高精度及它可以被快速傅里叶变换加速的特质.本文将回顾玻尔兹曼方程的傅里叶谱方法,具体包括方法的导出,稳定性和收敛性分析,快速算法,以及在一大类基于碰撞的空气动理学方程中的推广.
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    非自治刚性随机微分方程正则EM分裂方法的收敛性和稳定性
    余妍妍, 代新杰, 肖爱国
    2022, 44 (1): 19-33.   DOI: 10.12286/jssx.j2020-0748
    摘要227)      PDF (542KB)(174)   
    本文研究了数值求解非自治随机微分方程的正则Euler-Maruyama分裂(CEMS)方法,该方程的漂移项系数带有刚性且允许超线性增长,扩散项系数满足全局Lipschitz条件.首先,证明了CEMS方法的强收敛性及收敛速度.其次,证明了在适当条件下CEMS方法是均方稳定的.进一步,利用离散半鞅收敛定理,研究了CEMS方法的几乎必然指数稳定性.结果表明,CEMS方法在漂移系数的刚性部分满足单边Lipschitz条件下可保持几乎必然指数稳定性.最后通过数值实验,检验了CEMS方法的有效性并证实了我们的理论结果.
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    基于分数阶扩散方程的离散线性代数方程组迭代方法研究
    邵新慧, 亢重博
    2022, 44 (1): 107-118.   DOI: 10.12286/jssx.j2020-0718
    摘要180)      PDF (467KB)(153)   
    本文构建一类双参数拟Toeplitz分裂(TQTS)迭代方法求解变系数非定常空间分数阶扩散方程.TQTS迭代法是基于QTS迭代法引入双参技术建立而成,通过选取适当的参数使迭代矩阵谱半径变得更小,从而有效提升收敛的速度.然后对TQTS迭代法进行收敛性分析,获得相应的收敛区域,并对迭代法中涉及的参数进行讨论,获得使迭代矩阵谱半径上界达到最小的最优参数的表达式.最后通过数值仿真实验验证TQTS迭代法的有效性,实验结果表明TQTS迭代法改进效果十分突出,在迭代时间和步数上均有明显的减小.
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    球面上$\ell_1$正则优化的随机临近梯度方法
    米玲, 薛文娟, 沈春根
    2022, 44 (1): 34-62.   DOI: 10.12286/jssx.j2020-0731
    摘要176)      PDF (807KB)(157)   
    本文研究球面上的$\ell_1$正则优化问题,其目标函数由一般光滑函数项和非光滑$\ell_1$正则项构成,且假设光滑函数的随机梯度可由随机一阶oracle估计.这类优化问题被广泛应用在机器学习,图像、信号处理和统计等领域.根据流形临近梯度法和随机梯度估计技术,提出一种球面随机临近梯度算法.基于非光滑函数的全局隐函数定理,分析了子问题解关于参数的Lipschtiz连续性,进而证明了算法的全局收敛性.在基于随机数据集和实际数据集的球面$\ell_1$正则二次规划问题、有限和SPCA问题和球面$\ell_1$正则逻辑回归问题上数值实验结果显示所提出的算法与流形临近梯度法、黎曼随机临近梯度法相比CPU时间上具有一定的优越性.
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    关于“求解加权线性最小二乘问题的一类预处理GAOR方法”一文的注记
    缪树鑫
    2022, 44 (1): 89-96.   DOI: 10.12286/jssx.j2020-0707
    摘要163)      PDF (300KB)(126)   
    在"求解加权线性最小二乘问题的一类预处理GAOR方法"一文中,作者提出了求解加权线性最小二乘问题等价$2\times 2$块线性系统的一类预处理GAOR方法,并给出了几个比较定理来说明新提出预处理GAOR方法的优越性.本文我们将指出该文中几个比较定理的不完善之处和证明的错误之处,并给出正确的证明.
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    带五次项的非线性Schrödinger方程的守恒差分格式
    张法勇, 安晓丽
    2022, 44 (1): 63-70.   DOI: 10.12286/jssx.j2019-0557
    摘要152)      PDF (329KB)(136)   
    本文研究带有五次项的非线性Schrödinger方程初边值问题的有限差分法,其中方程中二阶偏导数项的系数、五次项的系数及初值满足下面的条件(1.6).针对此问题,我们研究了一个守恒差分格式,在条件(1.6)下,差分解的$L^{\infty}$模先验估计被得到.在此基础上,我们得到了差分解最优$L^2$模的误差估计.
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    带动量项的高阶幂法解高阶马尔科夫链的极限概率分布向量
    喻高航, 周艺, 吕来水
    2022, 44 (1): 71-88.   DOI: 10.12286/jssx.j2020-0704
    摘要151)      PDF (580KB)(92)   
    针对高阶马尔科夫链的极限概率分布问题,本文提出了两种带动量项的高阶幂法,并在一定条件下建立了所提算法的收敛性定理.数值实验结果表明动量项能够有效改善原幂法的计算效率.
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    非全局Lipschitz条件下跳适应向后Euler方法的强收敛性分析
    杨旭, 赵卫东
    2022, 44 (2): 163-177.   DOI: 10.12286/jssx.j2020-0757
    摘要145)      PDF (584KB)(155)   
    本文研究跳适应向后Euler方法求解跳扩散随机微分方程在非全局Lipschitz条件下的强收敛性.通过克服方程非全局Lipschitz系数给收敛性分析带来的主要困难,我们成功地建立了跳适应后向Euler方法的强收敛性结果并得到相应的收敛率.最后,我们通过数值试验对前文所得理论结果做进一步的验证.
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    改进的PNC方法及其在非线性偏微分方程多解问题中的应用
    刘嘉诚, 陈先进, 段雅丽, 李昭祥
    2022, 44 (1): 119-136.   DOI: 10.12286/jssx.j2020-0729
    摘要144)      PDF (2543KB)(109)   
    2017年,李昭祥等提出了一种偏牛顿-校正法(Partial Newton-Correction Method,简记为PNC方法),并利用它成功地计算出了三类非线性偏微分方程的多重不稳定解.本文在PNC方法的基础上,提出并发展了一种改进的PNC方法.首先,利用Nehari流形$\mathcal{N}$与零平凡解的可分离性,建立并证明了$\mathcal{N}$的某特殊子流形$\mathcal{M}$上的全局分离定理及其推广(即局部分离定理).全局分离定理只跟非线性偏微分算子或相应的非线性泛函本身有关,而与具体的计算方法无关.对一些典型的非线性偏微分方程多解问题(比如,Henon方程问题),该全局分离定理的分离条件,经验证是成立的.另一个方面,通过修改或补充原辅助变换的定义,去掉了原辅助变换的奇异性;接着建立并证明了某些非线性偏微分方程问题的新未知解与该非线性偏微分算子零核空间的密切关系;在证明中,去掉了在原奇异变换下所需的标准收敛(standard convergence)假设.最后,计算实例与数值结果验证了改进的PNC方法的可行性和有效性;同时表明子流形$\mathcal{M}$与已知解的可分离性是PNC方法和本文新方法能成功找到多解的关键.
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    求解带线性约束的凸优化的一类自适应不定线性化增广拉格朗日方法
    马玉敏, 蔡邢菊
    2022, 44 (2): 272-288.   DOI: 10.12286/jssx.j2021-0856
    摘要143)      PDF (814KB)(175)   
    增广拉格朗日方法是求解带线性约束的凸优化问题的有效算法.线性化增广拉格朗日方法通过线性化增广拉格朗日函数的二次罚项并加上一个临近正则项,使得子问题容易求解,其中正则项系数的恰当选取对算法的收敛性和收敛速度至关重要.较大的系数可保证算法收敛性,但容易导致小步长.较小的系数允许迭代步长增大,但容易导致算法不收敛.本文考虑求解带线性等式或不等式约束的凸优化问题.我们利用自适应技术设计了一类不定线性化增广拉格朗日方法,即利用当前迭代点的信息自适应选取合适的正则项系数,在保证收敛性的前提下尽量使得子问题步长选择范围更大,从而提高算法收敛速度.我们从理论上证明了算法的全局收敛性,并利用数值实验说明了算法的有效性.
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    一类特殊的分式规划问题的 ε-近似算法
    申子慧, 陈玉松
    2022, 44 (1): 137-144.   DOI: 10.12286/jssx.j2020-0742
    摘要131)      PDF (341KB)(90)   
    本文针对一类特殊的分式规划问题基于网格搜索提出了一个求其全局最优解的算法,且从理论上证明了算法的收敛性与计算复杂性,通过算例验证了算法的可行性与有效性.
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    椭圆型界面问题的破裂再生核方法
    杨学敏, 牛晶, 姚春华
    2022, 44 (2): 217-232.   DOI: 10.12286/jssx.j2021-0791
    摘要122)      PDF (582KB)(95)   
    本文基于一维椭圆型界面问题提出了一种有效的数值方法.首先,根据模型构建一个崭新的破裂再生核空间.其次,应用破裂再生核方法给出了此类界面问题的近似解,并讨论该方法的收敛性.最后,通过几个有效的数值算例来说明该方法的精确性和稳定性.
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    几乎各向同性的高维空间分数阶扩散方程的分块快速正则Hermite分裂预处理方法
    刘瑶宁
    2022, 44 (2): 187-205.   DOI: 10.12286/jssx.j2020-0743
    摘要119)      PDF (520KB)(129)   
    一类空间分数阶扩散方程经过有限差分离散后所得到的离散线性方程组的系数矩阵是两个对角矩阵与Toeplitz型矩阵的乘积之和.在本文中,对于几乎各向同性的二维或三维空间分数阶扩散方程的离散线性方程组,采用预处理Krylov子空间迭代方法,我们利用其系数矩阵的特殊结构和具体性质构造了一类分块快速正则Hermite分裂预处理子.通过理论分析,我们证明了所对应的预处理矩阵的特征值大部分都聚集于1的附近.数值实验也表明,这类分块快速正则Hermite分裂预处理子可以明显地加快广义极小残量(GMRES)方法和稳定化的双共轭梯度(BiCGSTAB)方法等Krylov子空间迭代方法的收敛速度.
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    导数振荡与应变能极小的平面分段三次参数Hermite插值
    李军成, 刘成志, 郭啸
    2022, 44 (1): 97-106.   DOI: 10.12286/jssx.j2020-0711
    摘要118)      PDF (463KB)(76)   
    由于分段三次参数Hermite插值的切矢往往被作为变量,故可对其进行优化以使得构造的插值曲线满足特定的要求.为了构造兼具保形性与光顺性的平面分段三次参数Hermite插值曲线,给出了一种通过同时极小化导数振荡和应变能来确定切矢的方法.首先以导数振荡函数和应变能函数为双目标建立了切矢满足的方程系统;然后证明了方程系统存在唯一解,并给出了解的具体表达式;最后给出了误差分析,并通过数值算例表明方法的有效性.结果表明,相对于导数振荡极小化方法和应变能极小化方法,所提出的导数振荡和应变能极小化方法同时兼顾了平面分段三次参数Hermite插值曲线的保形性和光顺性.
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    求解 M-张量方程的两种新型算法
    邵新慧, 祁猛
    2022, 44 (2): 206-216.   DOI: 10.12286/jssx.j2020-0756
    摘要116)      PDF (461KB)(156)   
    多重线性系统在当今的工程计算和数据挖掘等领域有很多实际应用,许多问题可以转化为多重线性系统求解问题.在本文中,我们首先提出了一种新的迭代算法来求解系数张量为 M-张量的多重线性系统,在此基础上又提出了一种新的改进算法,并对两种算法的收敛性进行了分析.数值算例的结果表明,本文提出的两种算法是有效的并且改进算法的迭代时间更少.
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    求解广义绝对值方程的交替牛顿矩阵多分裂方法
    吴宇虹, 马昌凤
    2022, 44 (3): 422-432.   DOI: 10.12286/jssx.j2021-0854
    摘要114)      PDF (559KB)(137)   
    本文针对广义绝对值方程,提出了基于牛顿法的矩阵多分裂方法.并在该方法的基础上进一步改进,得到了基于牛顿法的交替矩阵多分裂方法.给出两种算法在一定条件下的全局收敛性,并分析当分裂为H分裂时,基于牛顿法的矩阵多分裂方法的收敛条件.通过数值实验验证了所提出的算法的可行性和有效性.
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    基于Huber正则化的红外与可见光图像融合
    杨文莉, 黄忠亿
    2022, 44 (3): 305-323.   DOI: 10.12286/jssx.j2021-0867
    摘要112)      PDF (1598KB)(80)   
    图像融合通常是指从多源信道采集同一目标图像,将互补的多焦点、多模态、多时相和/或多视点图像集成在一起,形成新图像的过程.在本文中,我们采用基于Huber正则化的红外与可见光图像的融合模型.该模型通过约束融合图像与红外图像相似的像素强度保持热辐射信息,以及约束融合图像与可见光图像相似的灰度梯度和像素强度保持图像的边缘和纹理等外观信息,同时能够改善图像灰度梯度相对较小区域的阶梯效应.为了最小化这种变分模型,我们结合增广拉格朗日方法(ALM)和量身定做有限点方法(TFPM)的思想设计数值算法,并给出了算法的收敛性分析.最后,我们将所提模型和算法与其他七种图像融合方法进行定性和定量的比较,分析了本文所提模型的特点和所提数值算法的有效性.
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    求解张量互补问题的一类光滑模系矩阵迭代方法
    宋珊珊, 李郴良
    2022, 44 (2): 178-186.   DOI: 10.12286/jssx.j2020-0732
    摘要110)      PDF (394KB)(156)   
    本文提出了求解张量互补问题的一类光滑模系矩阵迭代方法.其基本思想是,先将张量互补问题转化为等价的模系方程组,然后引入一个逼近的光滑函数进行求解.我们分析了算法的收敛性,并通过数值实验验证了所提出算法的有效性.
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