由于线缆字符图像存在重叠域小、重叠区在边缘带、光照分布不均等问题，目前的图像拼接方法不能快速、有效拼接两幅图像.为此，本文提出了一种加速后的拼接新方法来解决线缆字符图像的拼接问题.首先利用边缘检测从图像中分割出字符区域.再基于光照分布对字符区域进行分块，利用大津法处理包含字符的图像块，得到线缆字符区域二值化图像.接着在区域增长的图像配准算法的基础上，加入降采样及分级步长的方法，快速得到线缆字符区域的重叠域.最后，在重叠域的垂直中心线处拼接得到一幅包含完整字符区域的二值图.实验结果表明，该方法能准确快速地对线缆图像进行拼接.

模型预测控制能够有效处理实际应用中的扰动、多控制变量和复杂约束，因此被广泛应用于各种大规模控制问题.然而，在处理基于复杂线性时不变系统的模型预测控制问题时，传统的二次规划算法存在计算负载过大，实时性差的缺点.为此，本文引入交替方向乘子法对模型预测控制问题进行分布式地求解.仿真实验结果表明，基于交替方向乘子法的模型预测控制相较传统的方法，计算效率明显提高，更适于求解大规模优化控制问题.

基于有限差分方法与谱方法，结合显式格式和隐式格式的特点，针对含时Wigner方程设计了一种高阶数值求解算法.并且应用此数值算法模拟了Gauss波包的散射效应.分别设计了单势垒与双势垒对Gauss波包的散射实验，考察了势垒高度和宽度对散射现象的影响以及双势垒高度与Gauss波包半衰期的关系.

磁流体动力学方程组被广泛应用于受控核聚变装置托卡马克、天体物理、磁流体发电等问题的研究中，其往往具有非线性、多尺度、多物理等特征，大规模数值难度较大.目前国际上对不可压缩流体问题的大规模数值求解主要采用全隐或半隐方法，但都是在同构的超级计算机而不是目前主流的异构众核系统上进行计算.论文面向国产神威"太湖之光"超级计算机，开展面向磁流体动力学方程组的异构众核全隐求解器研究.针对Newton-Krylov这类全隐求解器，提出了面向申威26010众核处理器的异构众核并行算法，并对其核心函数开展了众核并行和优化.对核心函数稀疏矩阵向量乘采用Matrix Free的方法来提升性能，对稀疏三角求解采用基于几何信息的异构众核并行算法，针对其访存密集的特点提出了存储格式、数据读取与计算依赖分离、核间寄存器通信等多种优化方法，对非线性残差计算等stencil类计算及10多个向量函数进行了异构众核并行，该异构众核并行算法可被其它应用软件重用.论文采用二维磁场重联问题进行测试，实验结果表明16进程时加速比可达13.6倍，能够支持高分辨率长时间模拟，并准确捕捉磁场重联现象.另外整体并行扩展性已经达到53万核，强可扩展性并行效率达到了33.8%，弱可扩展性并行效率达到了80.7%.

通过修正Q₁有限体积元方法处理节点未知量，本文提出且分析了扩散问题的一个稳定的九点格式.基于修正Q₁有限体积元格式理论和离散泛函分析，我们在弱几何条件给出了稳定性分析和H¹误差估计.与已有的一些中心型和杂交型格式相比，该格式不遭受所谓的数值热障现象.但是该格式需要多求解一次线性方程组.数值实验表明了格式有效性并且验证了理论分析.

针对大规模线性问题的迭代求解算法在100PF乃至E级超级计算机上的高可扩展性问题进行研究.首先分析了数理模型、数值方法、体系结构的耦合和非均衡特性，将高可扩展性问题归结到的权重图的剖分问题上.然后对若干图剖分算法与软件包进行分析，基于Petal-剖分算法实现了全局通信开销近似优化的大规模聚类分组算法.与基于舒尔补架构的线性问题求解方法相结合，给出了具有高可扩展性的线性问题求解架构（Schur-KS）.最后通过大规模环境下的高可扩展性测试和中小规模环境下针对典型实际应用问题用例的强可扩展性测试，分别验证了基于Schur-KS架构的求解算法的高可扩展性以及对典型实际应用问题的求解性能.

本文发展了Boltzmann方程各向异性正则化矩模型（AHME）的数值方法，将其简记为ANRxx算法.AHME由樊玉伟等^[1]作为各向同性正则化矩模型（HME）的推广提出，而本文实现的ANRxx算法亦可视为HME离散得到的NRxx算法^[2]的推广.本文对ANRxx算法进行了代表性的数值实验.数值结果表明，ANRxx算法作为Boltzmann方程的数值矩方法有明显的收敛性，同时在各向异性较明显的例子上有优于NRxx算法的表现.

高斯-赛德尔迭代法是一种经典的求解线性方程组的迭代算法，它对数值线性代数及数值最优化的发展产生了深远的影响.本文主要讨论求解系数算子自伴随且半正定但未必正定的线性方程组的（即退化情形的）高斯-赛德尔迭代法.我们回顾该算法收敛性分析的发展历史，并从与线性方程组等价的无约束凸二次规划问题出发，讨论基于高斯-赛德尔迭代的分块坐标下降法的收敛性，从而等价地得出高斯-赛德尔迭代法求解这类线性方程组的收敛性.与此同时，我们还将讨论与高斯-赛德尔迭代法密不可分的对称高斯-赛德尔迭代法，对比两者收敛性分析的异同.事实上，这其中的不同之处既促使了本文给出无约束凸二次规划问题分块坐标下降法的收敛性证明，又为很多相关问题的后续研究提供了动机.最后，基于本文内容，我们将提出一些与之密切相关但尚未解决的问题，并把它们作为进一步深入研究的对象.

Maxwell-Dirac系统及修正形式在拓扑绝缘体、石墨烯、超导等材料中有着十分广泛的应用，本文针对有界区域Weyl规范下具有周期间断系数Maxwell-Dirac系统，提出了该系统解的多尺度渐近展开式，结合时间分裂谱和自适应棱单元方法，发展了一类新型高效算法.数值计算结果表明该算法在处理上述时-空多尺度问题时十分有效.

刻画玻色-爱因斯坦凝聚态（BEC）的Gross-Pitaevskii方程通过差分方法离散，转化成一类非线性特征值问题（BEC问题）.在这篇文章中，讨论了对BEC问题的求解方法，并给出数值算例.通过半定松弛的方法（SDP松弛方法）和交替方向乘子法（ADMM），计算BEC问题的最小非线性特征值的一个界；通过Lasserre半定松弛，可以依次地计算BEC问题的所有实非线性特征值.在数值算例中，从求解问题的规模和求解速度两方面比较了SDP松弛方法和ADMM，同时用matlab自带的fmincon方法来求解，初步比较了它们的数值计算结果.

本文介绍一种求解半线性问题的完全多重网格算法，该算法是基于多重校正算法与线性边值问题的多重网格迭代结合而设计的.多重校正算法将半线性问题的求解转化成线性边值问题的求解加上在一个低维空间上的半线性问题的求解.利用并行计算技术，这里所提出的多重网格算法可以明显地提高求解半线性椭圆问题的效率.更进一步，当非线性项是多项式函数的时候，本文也设计了一种高效的完全多重网格算法，并且通过分析可以知道该算法求解多项式形式的半线性椭圆问题的计算量具有渐近最优的性质.最后用数值实验验证了本文算法的有效性.

界面追踪是多相流最基本最重要的子问题之一.现有方法的思路是把其中的几何和拓扑问题转化为求解数值偏微分方程，从而避免处理这些复杂的几何和拓扑结构.与此形成鲜明对比的是，我们提出的MARS理论和高阶数值方法试图运用几何和拓扑的工具来解决几何和拓扑的问题.这篇综述性文章将简明扼要的介绍MARS理论和其衍生方法的核心内容，包括殷空间（连续介质流相的数学模型）、殷空间上的布尔代数及其算法实现、流相拓扑变化的同调分析、捐献区间（标量守恒率下相空间中的粒子分类和通量计算解析解）、VOF方法的收敛阶证明、一个四阶精度的界面追踪方法cubic MARS、以及一个四阶及以上精度的曲率估计算法HFES.经典数值测试的结果表明cubic MARS和HFES无论在效率上还是精度上相对于现有方法都具有很大优势.

本文研究了一维非线性抛物型方程的紧差分格式.首先将非线性项线性化，并参照线性抛物型方程的紧差分格式的推导思路导出了非线性抛物型方程的紧差分格式，并给出了截断误差表达式.其次用能量方法分析了紧差分格式，导出了先验估计式，证明了差分格式的可解性、稳定性和收敛性，确定收敛阶为O（τ²+h⁴）.然后将Richardson外推法应用于紧差分格式，外推一次得到具有O（τ⁴+τ²h⁴+h⁶）阶精度的近似解.最后通过数值算例，表明非线性抛物型方程的紧差分格式及其外推格式具有较高的收敛精度.

着重于研究比较简单的二维准晶.根据软物质准晶的特性等物理知识，将高维复杂的偏微分方程简化到二维线性情形下.在二维条件下，对方程简化、求导等，将其化为二维热传导方程及位势方程.结合物理意义，给出合适的初边值条件，运用分离变量法及Green函数法给出应力的解析解.最后，在较复杂的初边值条件下，运用向前差分法对应力进行数值模拟并给出几个算例.

声子辐射输运方程是一个微分-积分方程，使用有限差分法数值求解具有边界条件的声子辐射输运方程，可借助Gauss-Seidel方法和有限差分离散化来保证得到稳定的数值解.通过对室温下Ge/Si/Ge薄膜的声子热输运过程进行一维数值模拟，以及对界面处使用漫射失配界面模型，可以得到温度沿着薄膜法向方向的变化曲线和Ge/Si薄膜厚度比例与温度在界面处跳跃值对材料整体结构的热导率的影响，以及随着薄膜厚度的增加薄膜热导率的变化趋势；对硅薄膜声子热输运过程进行二维数值模拟，可以得到温度沿着薄膜法向和面向方向的分布情况，以及当薄膜宽度和厚度比例不同时温度的变化和法向热导率的变化.

波形松弛（WR）方法是求常微分方程近似解的数值方法，对它的研究多集中于收敛性，极少见到稳定性研究报告，而不稳定的数值方法是没有意义的.借鉴常微分方程数值方法绝对稳定的思想，提出了WR方法的绝对稳定定义.分析连续基本WR方法和基于Θ方法的离散基本WR方法的稳定性，给出了连续和离散WR方法的绝对稳定条件，以及离散WR方法的压缩条件.对于WR方法，分裂函数和数值方法（用于离散连续WR方法）的选择是两个基础问题.论文结论部分地揭示了WR方法的稳定性与分裂函数和数值方法的关系.

代数多重网格（AMG）是求解偏微分方程离散线性代数方程组最有效的算法之一，广泛应用于科学与工程计算领域实际问题的大规模数值模拟.随着超级计算机性能不断提升，实际数值模拟的计算规模和并行规模越来越大，同时，实际问题应用特征和计算机体系结构特征越来越复杂，AMG面临并行可扩展、算法可扩展和浮点性能优化的严峻挑战.本文结合大规模计算的发展趋势，特别是面向即将到来的百亿亿次（E级）计算，分析AMG算法在这三个方面的挑战，总结研究现状与进展，展望未来研究重点.

本文利用有限元方法和特征线离散技术，对工业结晶过程中化学反应沉降过程进行数值模拟.该化学反应沉降过程被称作群体平衡系统，它由五个耦合的偏微分方程描述，分别是描述溶液流动的不可压Navier-Stokes方程，描述两个反应物在溶质中进行化学反应的非线性对流扩散反应方程，描述一个生成物在溶质中生成与成核的非线性对流扩散反应方程，描述沉淀颗粒性态的颗粒尺寸分布方程（也称粒数衡算方程）.除了时间和空间坐标外，颗粒尺寸分布方程还包含一个描述颗粒大小的内部坐标.我们利用特征线方法，将这个高维方程的求解转化成一系列可以并行进行的低维问题的求解.基于对在方腔内的碳酸钙沉降过程的数值模拟，本文定性地给出反应物入流口位置和生成物出流口位置的相对关系对沉淀物颗粒大小的影响.

本文针对利用Arrhenius方程刻画的隔离层腐蚀问题，研究如何利用实验数据得到刻画其机理的腐蚀模型参数的反问题.我们设计恰当的初值猜测方法、采用四阶Runge-Kutta格式求解微分方程，并利用Gauss-Newton方法得到了与实验数据匹配的模型参数.数值实验表明，我们的方法能够得到满足实际精度要求的模型参数，即根据估计参数得到的最终计算反应量和实验数据能够在误差范围内匹配.

LOBPCG是一种适合大规模稀疏对称问题的特征值数值解法.本文研究了适合神威太湖之光架构的LOBPCG并行算法.首先提出了基于主、从核的混合并行模型；研究了稀疏矩阵-向量积的并行算法，通过核组间通信隐藏、核组内通信隐藏等技术提高程序速度，并提出一种自动调节从核缓冲数据量的算法，可自动逼近最佳的通信隐藏效果；研究了稠密矩阵积在神威太湖之光架构上的并行算法，针对不同“形态”的输入矩阵提出了不同的矩阵分割算法，速度显著优于其它算法库；在计算最高1.25亿阶矩阵、使用936000计算核心的特征值求解测试中表现出良好的扩展性.我们还测试了该应用在凝聚态物理领域的强关联系统中的性能.

本文研究一类中立型随机延迟积分微分方程分裂步θ方法的均方指数稳定性.讨论了漂移项系数满足线性增长条件下精确解的均方指数稳定性.当θ∈[0，1/2]时，在漂移项满足线性增长和步长h<h^*的条件下，分裂步θ方法可以保持精确解的均方指数稳定性；在θ∈（1/2，1]时该方法对任意步长h=τ/m保持原系统的均方指数稳定性.最后，数值试验验证了理论结果的正确性.