基于贪婪准则和最大距离准则选择系数矩阵工作列的策略, 提出两种求解大规模超定不相容线性系统的斜方向的 Gauss-Seidel 方法, 即斜方向的贪婪随机 Gauss-Seidel (GRGSO) 方法和斜方向的快速最大距离 Gauss-Seidel (FMDGSO) 方法. 当系数矩阵是列满秩时, 理论表明这些方法收敛到线性系统的唯一的最小二乘解. 特别是当矩阵A的列接近线性相关时, 数值结果表明这些方法在求解性能方面比传统的 Gauss-Seidel 型方法更具优势.

块Kaczmarz方法是求解大规模线性方程组的一种迭代算法.在每次迭代时,会将当前迭代点正交投影到约束子集的解空间.文章基于块Kaczmarz方法的原理,提出了高斯混合模型的随机块Kaczmarz方法(GMM-RBK (k)).其中块的划分是通过高斯混合模型进行划分的.为了避免伪逆的计算或者最小二乘问题的求解,提出了高斯混合模型的随机平均块Kaczmarz方法(GMM-RABK (k)).证明了当线性方程组是相容时,这两种算法是收敛的,并给出相应的收敛率公式.在最后的数值实验中也证实了GMM-RBK (k)方法和GMM-RABK (k)方法的有效性,且无伪逆GMM-RABK (k)方法要优于GMM-RBK (k)方法.

贝叶斯推断正逐渐成为解决反问题的一个越来越流行的工具, 这主要是因为它能够描述所获得的解的不确定性. 在许多实际的贝叶斯反问题中, 可能有多个潜在性能良好的模型可用来描述数据和感兴趣的参数. 在这种情况下, 基于贝叶斯的模型选择方法经常被用来选择"最佳"模型, 而这种方法依赖于对后验分布中归一化常数的估计. 因此, 估计归一化常数成为贝叶斯推断中的一项重要任务, 而这个问题对于标准抽样方法来说具有计算上的挑战性. 在这项工作中, 新提出的一种基于多正则蒙特卡洛技术(MMC)的归一化常数估计方法, 可以很好的解决上述难题, 这是一种自适应的重要性采样方法. 该方法可以以黑箱方式估计归一化常数, 使其特别适用于具有复杂基础模型的问题. 最后, 通过数值例子证明了所提出的方法可以有效且准确地计算出归一化常数的估计值.

从Newton-Cotes积分的角度构造了一个带参数的三级二阶显式Runge-Kutta格式和两个带参数的四级三阶显式Runge-Kutta格式,给出了精度证明及稳定性条件.当参数特殊取值时,所构造的三种参数格式分别导出了常用的三阶Runge-Kutta格式(RK3)和经典的四阶Runge-Kutta格式(RK4).通过数值算例,验证了所构造的几类Runge-Kutta格式的有效性、稳定性及高精度.与常见的各类显式Runge-Kutta格式相比，本文构造的三种Runge-Kutta格式具有更好的稳定性.

近年来, 有关玻色-爱因斯坦凝聚态基态解的实验研究已经取得了一系列重要的成果. 本文在相关研究成果的基础上, 首先通过降维和无量纲化方法将玻色-爱因斯坦凝聚态基态解问题转换成能量泛函极值问题, 在离散该方程时,我们使用有限差分法和傅里叶谱方法分别离散该能量泛函方程的一维和二维情形. 其次, 本文采用了一种高效的数值优化算法-SQP优化方法来求解玻色-爱因斯坦凝聚态基态解问题并运用该算法分别对一维和二维的能量泛函极小值问题进行数值模拟. 最后通过分析实验数据结果和图像, 得出该算法能提高能量函数值的精确性.

应用共轭梯度方法和线性投影算子,给出迭代算法求解了线性矩阵方程$AXB=C$在任意线性子空间上的最小二乘解.在不考虑舍入误差的情况下,可以证明,所给迭代算法经过有限步迭代可得到矩阵方程$AXB=C$的最小二乘解、极小范数最小二乘解及其最佳逼近.文中的数值例子证实了该算法的有效性.本文算法的优点是在任意线性子空间上均容易实现.

双子空间投影算法和多步惯性随机Kaczmarz算法是求解相干线性方程组的有效算法,本文通过软阈值函数对这两种算法进行修正,提出了稀疏双子空间投影算法和稀疏多步惯性随机Kaczmarz算法,并给出其在有噪声干扰和无噪声干扰情况下在期望意义下的线性收敛率估计.通过数值实验验证本文所提算法的有效性和优越性.

压缩感知(CS)是快速核磁共振成像(MRI)的一种有效的方法,该方法旨在从少量的欠采样数据空间中重建核磁共振图像,加速核磁共振成像中的数据采集.为了提高当前MRI图像的重建精度和速度,本文将传统的基于模型驱动的压缩感知恢复算法和数据驱动的深度学习方法相结合,提出了一种新的算法--ADMM-CNN.该算法将交替方向乘子法(ADMM)中的一个子问题用卷积神经网络进行求解,然后通过构造损失函数,利用梯度下降法优化ADMM中的惩罚参数和拉格朗日乘子的更新率,从而得到训练好的ADMM模型,能够有效地从压缩感知测量中恢复核磁共振图像信号.本文设计的算法与传统的重建算法相比,具有较少的正则化参数和更低的计算复杂度,同时,将一个训练好的卷积神经网络直接引入,极大简化了训练过程和计算量,并且利用GPU来进行加速训练.实验结果表明,与传统的重建算法和其他深度学习方法相比,ADMM-CNN拥有较快的计算速度和良好的重建精度.

针对大规模垂直线性互补问题的求解,运用二步多分裂技术构建了二步模基矩阵同步多分裂并行迭代方法,新方法可以看成是已有文献中模基矩阵同步多分裂迭代法和二步模基矩阵分裂迭代法的推广.进一步地,在系统矩阵为$H_+$矩阵的假设下,给出算法收敛性分析,得到了参数矩阵的收敛域,推广了已有算法的收敛性结果.最后,在OpenMP框架下针对已有文献中的两个数值例子给出了数值试验,试验结果展示了二步多分裂技术能提升已有方法的计算效率.

多维超奇异积分在弹性力学和电磁场的散射问题等诸多工程领域中有广泛应用.考虑构造二维、三维面型超奇异积分的求积公式,同时提高误差精度.利用复合矩形求积公式在划分的$N$个子区间内近似计算被积函数中无奇异性的部分,剩余部分通过超奇异积分的解析式求解.根据外推思想,构造一维超奇异积分的修正复合矩形求积公式.最后将带有外推的求积公式推广到二维、三维面型超奇异积分中.文章结尾的数值算例验证了方法的可行性.

本文通过引入一种新的增广变换, 发展了改进的偏牛顿校正算法, 建立并证明了一类四阶非线性偏微分方程边值问题的新解与该问题零核空间的密切关系, 去掉了标准收敛假设, 使证明更简洁明了.分情况验证了该方程满足在 Nehari 子流形上全局分离定理的条件, 该分离定理为本文算法成功找到新解提供理论保障. 提出了二维非线性四阶偏微分方程 Dirichlet 边值问题的插值投影 Legendre-Galerkin 谱方法, 通过构造插值算子和投影算子, 对线性算子以及非线性项的处理进行了优化, 得到原问题的代数方程, 通过验证, 其与经典谱方法具有相同的条件数并都达到谱精度. 实验结果表明, 此方法与经典的谱方法或拟谱方法具有相同的收敛阶, 但计算所需CPU时间更少, 且能计算出更多的解.

Gegenbauer加法定理是Bessel函数相关理论体系中一个重要的理论,在数学物理问题中有广泛的应用.本文在由Bessel函数和Neumann函数极限形式所导出的上界基础上,对Gegenbauer加法定理的截断误差上界进行了估计,得到了明确的误差界及其收敛阶.最后,通过数值实验验证了估计的有效性和精确性.

一维非稳态渗流模型求解是试井研究的基础,这类模型目前解法分解析解法和数值解法两大类,解析解法主要通过拉普拉斯变换及数值反演完成,数值解法则主要依赖网格划分和方程离散.以动边界思想为基础,本文提出了一维非稳态渗流模型第三类解法——非线性方程迭代解法,基于稳态依次替换法和质量守恒定律,视压力探测半径内区域渗流为稳态流动,将非稳态渗流方程转化为稳态方程,分析不同流动时间下探测半径变化规律,推导建立了不同外边界条件下探测半径的非线性控制方程,最后通过牛顿法求解非线性方程得到不同时刻井底压力,对比非线性方程迭代解与解析解显示计算误差较小,且主要是计算初期误差稍大.与传统的解析解法和数值解法相比,非线性方程迭代解法精度较高、算法简单,每个时间步仅需解一个非线性方程,显著减少了计算时间,可以在其他一维非稳态渗流问题中推广应用.

大气动力学问题的数值模拟在气象预报等领域具有广泛的应用. 相关数值模拟依赖超级计算机平台实现高精度高分辨率的气象预报,隐式求解不受稳定性条件限制,相比显式求解更有优势.面向新的超级计算机架构特征研究隐式大气动力学问题中一系列算子操作的并行和优化方法是非常有必要的. 本文在规则递推关系的理论框架下对大气动力学问题预条件阶段的稀疏三角回代求解以及ILU矩阵分解操作的特征进行了总结,并结合申威26010Pro处理器的架构特点, 对现有结构化稀疏三角线性方程组问题的并行算法进行了推广,设计了一套面向单向规则递推关系的算法框架,解决了预条件阶段各类算子的并行加速问题. 本文还面向申威26010Pro处理器对大气动力学问题的模板计算等算子进行了移植和优化. 实验结果显示, 本文的算法框架对预条件阶段的算子能够实现26-33倍不等的加速效果,对模板计算等算子的优化相比串行计算有10-152倍的加速比. 在新的神威超级计算机上最大测试到1700多万核心,浮点性能达到20.5PFlop/s. 在大规模测试条件下的强(弱)可扩展性维持在56.81%(41.87%) 以上.

描述芯片或电力系统运行规律的常用数学模型是高维微分代数方程组, 其中的微分方程组太大, 诸如线性多步法和Runge-Kutta(RK)法等经典数值方法均不能有效求解. 为求解这些微分方程组, 学者们提出了波形松弛(WR)方法. 多数情况下, 这些微分方程组是刚性的, 求解他们需要稳定性好的隐式方法, 尤其需要A-稳定的方法. 此外, RK方法是使用最广泛的常微分方程的数值方法. 然而, 迄今为止尚未发现RK型WR方法A-稳定的研究. 本文研究了RK型WR方法的A-稳定性, 获得了方法A-稳定的充分条件. 常见A-稳定的RK方法有Gauss-Legendre方法、Radau IA方法、Radau IIA方法、Lobatto IIIA方法、Lobatto IIIB 方法、Lobatto IIIC方法, 而且并非RK方法A-稳定, 相应的RK型WR方法也A-稳定. 在一个假设下, 本文所得结果说明当选择低阶Radau IA方法, 或Radau IIA方法, 或Lobatto IIIC方法为底层方法时, 存在分裂方式使得RK型WR方法是A-稳定的.

基于“数值算法应尽可能地保持原问题的本质特征”这一思想,本文利用复合构造方法为Zakharov系统构造了一个局部动量守恒算法.本文所提出格式的优点是它在任何时空区域都能够保持局部动量守恒和局部质量守恒,即不依赖于任何的边界条件.在合适的边界条件下,例如齐次边界条件和周期边界条件,所提出的算法也保持了全局的动量守恒和质量守恒.数值实验给出了算法的时空二阶收敛性,并且验证了该算法的长时间计算稳定性和不变量守恒性.

针对二维椭圆型界面问题的离散化方程, 应用外推插值技巧和样条插值方法在细网格层上构造合适的迭代初始值, 加快V型多重网格法求解离散化系统的速度, 设计了外推完全多重网格(EXFMG)法. 数值实验表明新算法有效降低了迭代次数, 计算量更少.

利用分离变量法给出了含点源的一维热传导方程的积分解,在此基础上,研究了一维热传导方程点源源强的反演问题,将源强反演问题转化为优化问题,利用变分伴随法得到了梯度表达式,借助Broyden族算法对其反演,并给出数值模拟,结果表明Broyden族算法可行且有效.

本文提出一种基于积极集识别技术的临近牛顿算法用以求解$\ell_1$问题.该方法的一个优势在于利用了ISTA算法良好的支集辨认性质去确定自由变量和积极集变量,另一个优势在于利用了部分Hessian矩阵的信息去更新自由变量.在适当的条件下,我们证明了所提出的算法在使用非单调线搜索策略情况下是全局收敛的.数值实验证明提出的算法是有效的.

本文考虑求解粒子运输中非对称代数Riccati方程最小正解的两个加速算法的收敛性问题.该方程含有两个可变参数$\alpha\in[0,1),c\in (0,1]$.我们证明了两个加速算法有相同的收敛速度,并且当$(\alpha,c)\neq (0,1)$时,两个加速算法线性收敛,当$(\alpha,c)=(0,1)$时,它们次线性收敛.

本文考虑一个次扩散方程的反问题, 即根据某个时刻解在空间区域上的积分反向优化方程中的分数阶参数. 本文说明了当初值为0时, 以上问题可能有多个解. 基于时空有限元法, 我们提出了一个参数优化算法, 并利用离散Laplace变换技巧证明了该算法的全局收敛性. 另外针对球形区域, 利用-Δ算子的谱分解, 我们还提出了一个快速算法. 最后两个数值算例验证了算法的有效性.

本文在新的距离的框架下考虑 p-Laplace 方程的自适应有限元方法. 在文献[13]中作者考虑了2 ≤ p< ∞的情况, 给出了具有上界的后验误差估计.本文在此基础上发展了1 < p< ∞时具有上界和下界的后验误差估计. 数值实验验证了理论分析的结果.

光滑粒子流体动力学(Smoothed Particle Hydrodynamics, SPH)方法是一种无网格拉格朗日粒子法, 目前在流体力学领域以及大变形和冲击载荷等问题的模拟方面具有广泛的应用, 众多学者在SPH算法方面开展了大量的研究, 以提高SPH算法的计算速度和精度. 针对现有SPH方法在边界附近粒子近似精度下降的问题, 本文在CSPH 方法和MSPH方法基础上提出了一种改进的核近似形式, 在求解场函数、一阶导数近似值以及二阶导数近似值过程中,对含二阶导数项的方程进行优化, 减少了二阶导数项近似值的求解个数, 相比MSPH方法减少了计算量. 此外, 本文基于改进的SPH算法, 建立了二维数值波浪水槽模拟推板造波, 通过数值模拟造波将SPH算法生成的波浪参数与理论值进行对比, 验证了改进的SPH方法在波浪生成和传播上具有较好的模拟效果, 为后续研究内波、畸形波以及非线性波相互作用提供了算法研究基础.

基于集合卡尔曼滤波的反演算法已经成为处理贝叶斯反问题中越来越受欢迎的一类方法.这类方法可以看成是求解反问题的无梯度优化方法.然而这类方法是基于集合卡尔曼滤波算法的,所以它们可能不适用于求解强非高斯性观测模型.为了解决这一问题,在本文中我们提出一种基于仿射映射的变分集合卡尔曼反演算法,即确定一个先验集合到后验集合的仿射映射.数值实验结果表明,在强非高斯性观测模型中,我们提出的反演算法比标准的集合卡尔曼反演方法表现出更好的性能.

Karney于2016年提出了一种针对标准正态分布的精确采样算法.本文给出一种针对标准差为$\sqrt{1/(2\ln2)}$均值为$0$的正态分布的精确采样算法.这一种特殊的正态分布也被称为二元高斯分布，因为其相对概率密度函数可以由$2^{-x^2}$给出,这里$x$为任意实数.在实际中,针对二元高斯分布的这一精确采样算法无需浮点运算,可以看成是Karney精确采样技术的一种推广.分析了该采样算法产生一个二元高斯样本平均需要的区间$(0,1)$上的均匀偏差数.数值实验也表明了该采样算法的有效性.对于大于$1$但小于自然常数$e$的任意有理数$c$,将精确采样二元高斯分布的思想推广到了精确采样标准差为$\sqrt{1/(2\ln{c})}$均值为$0$的被称为“$c$元高斯分布”的一类正态分布上,并进行了类似的复杂性分析.

带有分数阶Laplacian算子的对流扩散方程常被用来刻画自然界与社会系统中的反常扩散现象. 本文提出了一种新的格子Boltzmann模型, 用于求解二维带分数阶Laplacian算子的对流扩散方程. 首先, 基于分数阶Laplacian算子的Fourier变换和Gauss型求积公式, 得到控制方程的近似方程. 然后, 将速度空间、时间和空间进行离散, 并构造合适的平衡态分布函数和离散作用力, 建立有效的格子Boltzmann-BGK模型. 通过Chapman-Enskog分析, 可由建立的格子Boltzmann-BGK模型恢复出宏观方程, 从而证明了模型的有效性. 最后, 将模型应用于求解带有解析解的数值算例和Allen-Cahn方程, 数值结果进一步验证了模型的正确性和有效性.

广义Dantzig选择器问题是解决参数估计的有效途径, 其中任何范数都可以用于估计. 本文采用对偶交替方向乘子法(dual Alternating Direction Method of Multipliers, 简称dADMM)求解$\ell_1$范数, $\ell_2$范数和$\ell_{\infty}$范数广义Dantzig选择器问题, 并给出了dADMM的全局收敛性和局部线性收敛速度. 数值试验验证了dADMM的有效性.

周期体系电子结构计算中的物理量需要通过在布里渊区上的能带积分得到.对于金属体系,被积函数在费米面穿过能带的地方出现间断,这导致一般数值积分方法的计算精度提升困难.本文基于smearing方法,分别通过一次和二次外推得到了关于展宽参数具有更高阶精度的数值格式.基于这类外推格式的数值方法在布里渊区$\mathbf{k}$点离散相同的前提下给出了更高精度的布里渊区积分逼近,显著地提高了计算效率.我们通过对两类典型体系的数值模拟验证了这类外推方法的有效性.

因子分析是一种可用于简化数据, 对数据进行降维的统计方法, 如今已被广泛应用于各个领域. 在因子分析中, 如何对因子个数进行选择是非常重要的问题. 在实际应用中, 因子个数的确定通常依赖于样本协方差矩阵. 本文利用~Kullback-Leibler (KL)散度刻画协方差矩阵估计的不确定性, 并基于此建立~KL散度正则化最小迹模型对因子个数进行估计. 同时, 采用具有全局收敛性的基于对称高斯-赛德尔分解的交替方向乘子法对所建立的模型进行求解, 并从数值实验的角度验证了模型和算法的有效性.

波形松弛(WR)方法是求解微分方程的一种重要数值方法,迄今为止,关于它的研究集中于收敛性,罕有对其稳定性的研究.提出了常微分方程WR方法稳定的定义.借鉴常微分方程经典数值方法稳定性的常规研究方法,研究WR方法的稳定性,给出了连续WR方法保持三种标准试验方程稳定性的充分条件.使用Lyapunov技巧研究WR方法的压缩性,得到了连续和离散WR方法保持试验方程压缩的充分条件.