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    高可扩展、高性能和高实用的稀疏矩阵计算研究进展与挑战
    刘伟峰
    2020, 41 (4): 259-281.   DOI: 10.12288/szjs.2020.4.259
    摘要388)      PDF (8233KB)(506)   
    稀疏矩阵算法是超级计算领域的热点和难点研究内容之一.本文从高可扩展、高性能和高实用这三个角度,对过去30年来国内外稀疏矩阵计算的部分主要研究工作进行了综述.并配合在三个GPU上十余个稀疏BLAS算法的测试数据,讨论了同时达到高可扩展、高性能和高实用这三个目标的主要难点.最后提出了未来稀疏矩阵计算领域的一系列挑战.
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    趋化群体运动中的建模分析和计算
    唐敏
    2021, 42 (2): 91-103.   DOI: 10.12288/szjs.s2021-0737
    摘要351)      PDF (569KB)(338)   
    趋化运动是细菌寻找食物、逃离有害物质的核心机制. 对于多细胞生物来说, 趋化运动对其发育和健康更是至关重要. 随着对趋化运动越来越多生物细节的理解, 其数学模型也越来越完备和复杂. 本文以大肠杆菌的趋化运动为例, 回顾了三个不同尺度的模型:上个世纪70年代提出的Keller-Segel模型, 80年代末提出的的速度跳跃模型以及本世纪初提出的含信号通路的动理学方程模型. 我们回顾近30年来这些模型提出的背景、建模思想、分析得到的关于解行为特性的一些主要结论, 以及相关数值算法, 并探讨不同尺度模型之间的联系和区别.
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    非局部和反常扩散模型的数值方法
    张继伟
    2021, 42 (3): 183-214.   DOI: 10.12288/szjs.s2021-0777
    摘要160)      PDF (1102KB)(278)   
    由于非局部模型能够描述某些重要物理现象产生的奇性和间断机制,近些年来在很多领域受到广泛应用并对相关学科的发展产生了强有力的推动作用.反常扩散模型作为一个重要的非局部模型,常用于描述反常扩散等现象.非局部模型的非局部性和多尺度特征不仅推动了新的数学理论的发现,而且为现有的离散和局部连续模型及其联系提供了新的视角.尽管已经有很多成果,但无论是从数学方法和基础理论还是数值方法角度来看,多尺度非局部和反常扩散模型都有广阔的研究空间.进一步发展和完善基础数学理论和方法,在真实的解正则性条件下发展新的高效数值格式,尤其是具有稳定、收敛、满足渐近兼容的数值格式是一个研究重点.在过去的几年里,本文作者一直致力于非局部模型的数学理论和数值方法研究,在人工边界条件设计、非局部极值原理和渐近兼容的数值格式等方面,取得了一些有意义的研究成果.在反常扩散方程的数值分析方面,发展了Caputo导数的快速算法和离散分数阶类型的Grönwall不等式,并提出了误差卷积结构的思想来表示局部相容误差,为一类常用变步长数值格式的最优误差估计提供了一些基础分析框架.要完全解决非局部和反常扩散模型中的各种数学问题还有相当长的距离,需要进一步深入研究.希望本文能为推动多尺度非局部模型和反常扩散模型的基础理论和算法的深入发展起到抛砖引玉的作用.
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    基于有限元方法的频率域弹性波全波形反演
    张文生, 张丽娜
    2020, 41 (4): 315-336.   DOI: 10.12288/szjs.2020.4.315
    摘要111)      PDF (2996KB)(126)   
    本文基于有限元方法,研究和发展了频率域弹性波方程的全波形反演方法.首先详细阐述了频率域弹性波方程的有限元正演方法,包括矩形单元上的有限元全离散格式、完全匹配层吸收边界条件以及有限元计算中震源的处理,并进行了正演模拟数值计算.其次,推导了矩形单元的全波形反演公式及其离散格式,也包括预条件最速下降法和正则化方法的结合应用.对均匀模型和国际标准的Overthrust复杂构造模型进行了并行全波形反演计算,反演中假定密度已知,通过反演Lamé参数来反演纵波和横波速度.反演基于频率多尺度策略,从低频至高频逐级进行,对数据含噪情况的也进行了计算,均得到了较好的反演结果.数值计算验证了文中方法、格式和算法的正确性和有效性.
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    科恩-沈方程与含时科恩-沈方程的一个自适应有限元数值方法
    况阳, 申烨丹, 胡光辉
    2021, 42 (1): 33-55.   DOI: 10.12288/szjs.s2020-0708
    摘要105)      PDF (2722KB)(126)   
    在材料分析、纳米光学等研究中,高质量数值模拟多体系统电子密度的随时间演化是一类重要研究内容.演化中产生的时间依赖偶极子等物理量,是更进一步研究的基础.此类数值模拟分为两个步骤,即多体系统的基态求解、及以基态为初值的系统的动态演化模拟.这两个步骤可以分别通过数值求解科恩-沈(Kohn——Sham)方程及含时科恩-沈(time-dependent Kohn——Sham)方程实现.本文中,我们提出一类基于有限元方法的数值求解框架,为这两个步骤提供一个统一的模拟实现.在基态求解中,我们利用一类自洽场迭代对方程进行线性化,采用局部最优块预处理共轭梯度法求解导出的广义特征值问题,并设计了一个基于多重网格方法的预优对求解进行有效加速.在动态演化模拟中,针对方程的结构,我们提出了一个基于隐式中点公式的数值方法,利用预估-校正方法对方程进行线性化处理,并设计了一个针对复值线性系统的代数多重网格求解器用于加速时间推进.特别地,我们基于提出的数值方法,分别针对科恩-沈及含时科恩-沈方程导出了残量型后验误差估计子,并实现了基于局部加密的网格自适应方法,用于进一步改善数值模拟效率.数值解展示了方法的有效性.
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    求解正交非均衡Procrustes问题的MM方法
    钱振语, 刘新国
    2020, 41 (4): 297-305.   DOI: 10.12288/szjs.2020.4.297
    摘要94)      PDF (693KB)(107)   
    给出了求解正交非均衡Procrustes问题的MM方法并分析了收敛性.为了克服算法迭代次数多和计算结果依赖初始迭代点的困难,设计了特殊的初始点选取策略,并使用了拟牛顿加速及Nesterov加速技巧。数值结果显示,在一定情形下,提出的算法相比已有方法有优势.
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    三类新的求解广义最小二乘问题的预处理GAOR方法
    王丽
    2020, 41 (4): 282-296.   DOI: 10.12288/szjs.2020.4.282
    摘要92)      PDF (323KB)(95)   
    本文提出了用以加速求解广义最小二乘问题的2×2块线性系统的GAOR方法的三类新的预处理子,研究了新预处理GAOR方法的比较定理.所得的比较结果表明当原GAOR方法收敛时,我们提出的新预处理GAOR迭代方法的收敛速度优于原GAOR.最后,给出的数值算例也很好的验证了新预处理方法的有效性.
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    Julia编程语言在材料模拟中的应用
    廖明杰, 王浩磊, 张镭
    2021, 42 (1): 71-79.   DOI: 10.12288/szjs.s2020-0721
    摘要90)      PDF (4291KB)(120)   
    Julia是一种快速、易用、开源、动态的编程语言,在近年来得到了迅猛发展,尤其适用于科学计算.本文简单介绍Julia语言的重要特性如类型稳定性和多重分派等,并以原子模拟软件包JuLIP为例,介绍Julia语言在材料模拟中的应用.我们通过两个典型应用,二维/三维无序材料的建模和二维晶体固体中的波动传播,来展示利用JuLIP进行材料建模和功能扩展的过程.
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    固溶合金第一性原理计算方法初探
    徐黎闽, 杨真, 方俊, 高兴誉, 宋海峰
    2021, 42 (1): 18-32.   DOI: 10.12288/szjs.s2020-0705
    摘要81)      PDF (1040KB)(96)   
    固溶合金第一性原理计算在新型合金物性研究与合金组分优化设计中扮演着重要角色.固溶合金具有化学无序结构,晶格平移对称性破缺,难以直接应用标准的第一性原理计算方法.本文介绍了确定组分固溶合金第一性原理计算的主要两类方法.第一类方法是相干势近似方法,我们推导了相干势近似的自洽方程,基于多重散射理论梳理了单格点杂质系统Green函数的计算方法.第二类方法是超胞结构建模方法,我们介绍了相似原子环境的数学模型,推导了整体化学无序与短程化学有序的统一描述方法,证明了两种超胞结构建模方法最优解之间的关系.结合第一性原理计算与热力学模型,我们应用这两类方法预测了变组分铀铌合金的晶格参数与典型镁铝合金的热力学物性,获得了实验验证.
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    无序体系薛定谔算子格林函数及谱分布
    陈宣玮, 阙嘉豪, 王新月
    2021, 42 (1): 56-70.   DOI: 10.12288/szjs.s2020-0715
    摘要80)      PDF (523KB)(88)   
    无序体系通常有着独特的光电性质,随着材料应用的深入,无序体系渐渐引起关注.研究无序体系的物理性质,最重要的便是它的电子性质,这与薛定谔算子谱的性质有关.而研究薛定谔算子谱的性质,关键是要研究格林函数的衰减性.它从数理角度描述了微观粒子的运动状态,对相应物理现象的解释和预测很有意义.通过两类典型无序体系薛定谔算子格林函数的衰减性质及谱分布的相关推论,可以看出,两种算子具有一定相似性,但目前对这两种算子格林函数衰减性的研究采用的是不同的方法.后续可以寻求更统一的对准周期体系和随机体系或其他无序体系特征函数局域化的研究方法,并推广到更一般的无序体系中.
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    前言
    张镭
    2021, 42 (1): 1-2.  
    摘要76)      PDF (204KB)(126)   
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    准周期量子动力系统的数值求解
    李雪阳, 蒋凯
    2021, 42 (1): 3-17.   DOI: 10.12288/szjs.s2020-0694
    摘要76)      PDF (1161KB)(174)   
    本文提出了研究准周期量子动力系统的计算方法.传统计算方法通常使用大的周期系统来近似计算准周期系统,这会产生丢番图逼近误差.我们的方法将准周期系统在高维周期结构中表示和计算,这样不仅可以避免丢番图逼近误差,而且可以将周期系统的高效算法,比如快速Fourier变换直接运用到新的算法中.我们将算法用于计算具有准周期势的线性薛定谔方程和准周期初值的非线性薛定谔方程.数值结果表明了算法的可靠性和高效性,并可以用于研究包含Anderson局域化、非线性光子准晶在内的准周期量子行为.
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    单变量矩阵方程子矩阵约束下牛顿-MCG算法
    陈世军, 卢民荣
    2020, 41 (4): 306-314.   DOI: 10.12288/szjs.2020.4.306
    摘要75)      PDF (360KB)(114)   
    子矩阵约束问题源于实际应用中的子系统扩张问题,文中研究了子矩阵约束下二次矩阵方程对称解的迭代算法,先用牛顿算法把二次矩阵方程转化为关于校正矩阵的线性矩阵方程,再用修正共轭梯度算法(MCG算法)求解导出线性矩阵方程对称解或最小二乘解,建立了求单变量二次矩阵方程子矩阵约束下对称解牛顿-MCG算法.数值算例表明,该牛顿-MCG是有效的,能在有限步迭代得到方程的子矩阵约束解.
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    三维颗粒物质的能量最小化模拟方法
    王浩磊, 张镭
    2021, 42 (1): 80-90.   DOI: 10.12288/szjs.s2019-0636
    摘要67)      PDF (729KB)(83)   
    颗粒物质是大量宏观颗粒的集合,广泛存在于自然界,日常生活和工业生产中.颗粒物质的运动表现出非常复杂的现象,如堵塞(jamming)等.颗粒物质体系的定量研究仍是一个巨大的挑战.本文采用能量最小化方法对颗粒物质进行准静态模拟.对一些典型的非线性优化方法,如共轭梯度法,拟牛顿法等,通过预条件来提高这些方法的效率.这些预条件方法基于颗粒体系的几何结构和能量函数来构建.通过对一些典型的准静态过程,如压缩和剪切试验的数值模拟,观察到对三维颗粒体系,预条件方法可以有40%左右的效率提升.
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    有限元特征值计算中的子空间二次解耦算法
    孙家昶
    2021, 42 (2): 104-125.   DOI: 10.12288/szjs.s2021-0738
    摘要61)      PDF (528KB)(120)   
    解线性方程组预条件子算法已在求解偏微分方程(PDE)的离散代数系统的高性能计算中取得巨大成功. 相比之下, PDE 特征值问题本身的高效快速并行的潜力目前远未发挥.根据代数基本定理可知, 通过因式分解, 任意一个一元 n 次实特征多项式可分解为若干个低次实多项式(如二次)或一次实多项式的乘积, 因此, 利用PDE方程的特征变换(如Fourier变换等)作预变换 有可能把离散的高阶广义特征值问题直接解耦分解为一批低阶广义矩阵特征值的并行计算. 本文以三次 Hermite 插值有限元为例, 提出求解一类离散椭圆PDE 广义特征值的二次解耦算法。新算法不但 降低了常规算法 (先把广义特征值问题化为普通特征值问题, 再分解为 n 个一次多项式乘积)的计算复杂度, 性能提升明显, 而且能有效判别与防止伪特征值的出现(Spurious free无伪解).
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    扩散方程九点格式的保正性与极值性
    袁光伟
    2021, 42 (2): 134-145.   DOI: 10.12288/szjs.s2020-0647
    摘要57)      PDF (438KB)(97)   
    针对任意四边形网格上扩散方程已有的九点格式, 引入适当的限制器进行改写, 证明了所得到的非线性格式具有强保正性, 且该非线性格式的解若存在的话即为九点格式的一个正的解. 并进一步讨论了保持离散强极值原理的格式.
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    求解极坐标系下反应扩散方程的紧致隐积分因子方法
    霍俊蓉, 张荣培
    2021, 42 (2): 146-154.   DOI: 10.12288/szjs.s2020-0679
    摘要54)      PDF (700KB)(90)   
    反应扩散方程在物理、化学和生物等领域有着重要的应用. 以往的工作主要在矩形区域上考虑求解, 本文研究圆形和环形区域上求解反应扩散方程. 首先将反应扩散方程写成极坐标形式, 利用二阶有限差分方法在空间 r 方向和 θ方向分别进行离散. 将网格上的数值解以矩阵形式表示, 并且将微分算子离散成矩阵形式, 从而得到紧致形式下的非线性常微分方程组, 然后应用隐积分因子方法求解该非线性常微分方程组. 紧致隐积分因子方法不仅降低了存储量, 而且在每一个时间层只需要求解局部的非线性代数方程组. 最后给出数值算例, 选取带有精确解的反应扩散方程以及Schnakenberg模型, 在圆形和环形区域上求解反应扩散方程组, 数值结果显示该方法能够快速且准确地计算.
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    基于广义惩罚加权最小二乘的低剂量CT重建方法
    牛善洲, 刘宏, 朱赟, 喻高航, 马建华
    2021, 42 (3): 289-302.   DOI: 10.12288/szjs.s2020-0671
    摘要52)      PDF (774KB)(51)   
    针对低剂量CT成像问题,本文提出了一个基于广义惩罚加权最小二乘的低剂量CT重建方法,并在一定条件下建立了算法的全局收敛性定理.首先对投影数据进行统计建模构建广义加权最小二乘保真项,并且将二次先验信息引入投影数据的恢复过程中,从而达到抑制噪声的目的,最后使用经典的滤波反投影算法对恢复后的投影数据进行解析重建.实验结果表明,与惩罚加权最小二乘方法相比,新方法可以有效地抑制低剂量CT图像中的噪声和伪影,同时可以很好地保持图像的结构信息和空间分辨率.
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    非结构网格上针对间断有限元方法的初值重映流场收敛加速技术
    王居方, 刘铁钢
    2021, 42 (2): 169-182.   DOI: 10.12288/szjs.s2020-0725
    摘要50)      PDF (664KB)(89)   
    给出一种非结构网格上针对间断有限元方法的初值重映流场收敛加速技术框架, 以提高气动优化过程中间断有限元方法的收敛速度, 减少优化过程所需时间. 在保持网格拓扑结构不变的前提下, 通过从给定的参考单元到物理域上每个网格单元的一一映射, 在不同外形的网格上相应单元之间建立局部的一一对应关系; 每次更新外形时, 将当前外形的数值解重映到新外形的网格上作为初值, 以加快间断有限元方法的收敛速度. 将该技术应用于三角形网格上的翼型优化设计问题, 取得了很好的效果, 对于三阶间断有限元方法能够减少超过70%的计算时间.
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    基于PHG平台的非结构四面体网格欧拉方程间断有限元并行求解器
    杜玉龙, 徐凯文, 赵昆磊, 袁礼
    2021, 42 (2): 155-168.   DOI: 10.12288/szjs.s2020-0714
    摘要49)      PDF (3437KB)(76)   
    针对计算流体力学对高性能计算的需求,基于三维并行自适应有限元程序开发平台PHG (Parallel Hierarchical Grid)开发了在非结构四面体网格上求解可压缩流欧拉方程的间断有限元法并行求解器(Libdgphg库). 该求解器以C++函数库的形式实现数值方法中各项功能. 实施了模态基一次间断有限元, 采用低耗散的MLP(Multi-dimensional Limiting Process)限制器来抑制间断附近的数值振荡. 由于MLP限制器需要所有与当前单元共享顶点的邻近单元的信息, 模板较宽, 这给程序设计带来一定的困难. 我们通过引入辅助向量收集共享顶点的所有单元中的最大、最小单元积分平均值, 并归属到单元数据结构上, 从而利用PHG内在的通信机制实现MPI分区间的信息交换.通过几个数值算例测试了Libdgphg库的数值结果以及并行性能. 算例表明: 该求解器能得到理论精度阶和较高分辨率, 同时有良好的并行性能, 在千核测试中可达到60%以上的并行效率, 可用于流体问题的大规模计算.
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