当期目录

    2021年 第42卷 第3期    刊出日期:2021-09-15
    上一期   
    青年评述
    非局部和反常扩散模型的数值方法
    张继伟
    2021, 42(3):  183-214.  DOI: 10.12288/szjs.s2021-0777
    摘要 ( 160 )   PDF (1101KB) ( 278 )  
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    由于非局部模型能够描述某些重要物理现象产生的奇性和间断机制,近些年来在很多领域受到广泛应用并对相关学科的发展产生了强有力的推动作用.反常扩散模型作为一个重要的非局部模型,常用于描述反常扩散等现象.非局部模型的非局部性和多尺度特征不仅推动了新的数学理论的发现,而且为现有的离散和局部连续模型及其联系提供了新的视角.尽管已经有很多成果,但无论是从数学方法和基础理论还是数值方法角度来看,多尺度非局部和反常扩散模型都有广阔的研究空间.进一步发展和完善基础数学理论和方法,在真实的解正则性条件下发展新的高效数值格式,尤其是具有稳定、收敛、满足渐近兼容的数值格式是一个研究重点.在过去的几年里,本文作者一直致力于非局部模型的数学理论和数值方法研究,在人工边界条件设计、非局部极值原理和渐近兼容的数值格式等方面,取得了一些有意义的研究成果.在反常扩散方程的数值分析方面,发展了Caputo导数的快速算法和离散分数阶类型的Grönwall不等式,并提出了误差卷积结构的思想来表示局部相容误差,为一类常用变步长数值格式的最优误差估计提供了一些基础分析框架.要完全解决非局部和反常扩散模型中的各种数学问题还有相当长的距离,需要进一步深入研究.希望本文能为推动多尺度非局部模型和反常扩散模型的基础理论和算法的深入发展起到抛砖引玉的作用.
    论文
    带自适应学习率的加速随机方差缩减梯度法
    陈国茗, 于腾腾, 刘新为
    2021, 42(3):  215-225.  DOI: 10.12288/szjs.s2020-0639
    摘要 ( 44 )   PDF (634KB) ( 70 )  
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    由于随机方差缩减梯度(SVRG)法在求解经验风险最小化(ERM)问题时表现优异,近年来受到了广泛关注.与SVRG方法中使用固定的学习率不同,结合初始化偏差矫正技术,提出使用自适应方法来动态计算SVRG方法及其加速版本FSVRG方法的学习率,分别称为AdaSVRG方法和AdaFSVRG方法.收敛性分析表明,AdaSVRG方法和AdaFSVRG方法在强凸假设下均具有线性收敛速率.在标准数据集上的数值实验表明,在求解ERM问题时,AdaSVRG和AdaFSVRG需要更少的迭代次数就可以达到相同水平的优化间隙.
    变系数偏微分方程的Galerkin KPOD模型降阶方法
    王丽, 苗真, 蒋耀林
    2021, 42(3):  226-236.  DOI: 10.12288/szjs.s2019-0628
    摘要 ( 43 )   PDF (734KB) ( 52 )  
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    研究了变系数偏微分方程的Galerkin KPOD(Krylov Enhanced Proper Orthogonal Decomposition)模型降阶方法.首先基于Galerkin有限元理论建立变系数偏微分方程的空间离散格式,得到具有时变系数矩阵的常微分方程组,并对该常微分方程组应用KPOD模型降阶方法进行降阶并求解.其次,对降阶投影算子进行了分析,给出了Galerkin有限元解与GalerkinKPOD降阶解之间的误差界.最后用数值算例验证了变系数偏微分方程的Galerkin KPOD模型降阶求解方法的可行性,通过有限元离散解与GalerkinKPOD降阶解、GalerkinPOD降阶解之间的误差比较,体现GalerkinKPOD降阶方法的优势.
    一类线性Poisson-Boltzmann方程的虚单元法
    陈键铧, 阳莺
    2021, 42(3):  237-246.  DOI: 10.12288/szjs.s2020-0638
    摘要 ( 40 )   PDF (526KB) ( 54 )  
    参考文献 | 相关文章 | 计量指标
    Poisson-Boltzmann方程是一类带有Dirac分布源和间断系数的偏微分方程,本文主要研究一类线性的Poisson-Boltzmann方程的虚单元法.首先对Poisson-Boltzmann方程进行分解,将原方程转化为一类非奇性正则化Poisson-Boltzmann方程来求解,接着设计了相应的虚单元法.理论上给出最低阶虚单元法在H1范数下的最优误差估计.数值算例验证了理论分析的收敛阶,同时也说明了利用虚单元法可以实现线性Poisson-Boltzmann方程在多边形网格上的求解.
    三阶偏微分方程的时空间断Galerkin谱方法
    薛未, 吴华
    2021, 42(3):  247-262.  DOI: 10.12288/szjs.s2020-0648
    摘要 ( 37 )   PDF (699KB) ( 55 )  
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    本文提出了三阶偏微分方程的时空间断Galerkin谱方法.该方法在空间方向上采用局部间断Galerkin谱方法,即在每个子区域上,该格式按Legendre-Galerkin谱方法形成,子区域交界面处的跳跃项利用数值流量进行处理.在时间方向上采用多区域Legendre-tau谱方法.文中将该全离散格式分别应用到线性与非线性方程中,并分别给出了数值算例.理论分析部分给出了三阶线性偏微分方程在全离散格式下的收敛性分析.
    基于复化Gauss-Legendre积分的Laplace变换数值反演及其应用
    李小龙
    2021, 42(3):  263-275.  DOI: 10.12288/szjs.s2020-0653
    摘要 ( 34 )   PDF (803KB) ( 42 )  
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    Laplace变换的数值反演是一个病态问题.采用代数精度较高的数值积分近似Laplace变换截断积分,合理选取复平面上样本点以形成离散线性代数方程组是解决这个问题的途径之一.本文采用代数精度较高的复化Gauss-Legendre数值积分近似Laplace变换截断积分,推导了一种Laplace变换数值反演算法.其间,对于所形成的条件数很大的线性方程组采用基于约化奇异值分解的最小二乘法进行求解,以尽可能降低数值解的误差.使用该算法对简单测试算例进行数值反演,并将其结果与精确解进行对比,结果表明,相比经典的Gaver-Stehfest方法和基于Gauss-Legendre积分的方法,本文推导的反演算法可以达到满意的数值精度.同时,结合该算法采用半解析半数值方法对一个较为复杂的冲击凿岩问题的数值反演结果也表明该数值反演算法具有一定的实用性.
    时空分数阶扩散方程的扩展混合有限元方法
    袁琼, 杨志伟, 付芳芳
    2021, 42(3):  276-288.  DOI: 10.12288/szjs.s2020-0655
    摘要 ( 45 )   PDF (426KB) ( 45 )  
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    文章主要讨论了带有双边Riemann-Liouville分数阶导数的分数阶扩散方程.通过引入未知函数的通量$p=-K ({\theta_0}I_x^\beta+{(1-\theta)_x}I_1^\beta) Du$和导数$q=Du$作为中间变量,建立了相应的鞍点变分格式.基于鞍点格式构造了可同时高精度逼近未知函数,未知函数导数和分数阶通量的$L^1$全离散扩展混合有限元格式.在数值分析中,借助混合元投影算子的投影误差估计得到关于未知函数$u$的收敛阶为$O (\tau^{2-\alpha}+h^{\min\{k+1,s-1+{\beta\over2}\}}),$关于函数导数与分数阶数值通量$p$的收敛阶为$O (\tau^{2-\frac{3\alpha}{2}}+h^{\min\{k+1,s-1+{\beta\over2}\}}).$文中数值实验表明,所提出的$L^1$全离散扩展混合有限元格式具有理想的数值逼近效果.
    基于广义惩罚加权最小二乘的低剂量CT重建方法
    牛善洲, 刘宏, 朱赟, 喻高航, 马建华
    2021, 42(3):  289-302.  DOI: 10.12288/szjs.s2020-0671
    摘要 ( 52 )   PDF (774KB) ( 51 )  
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    针对低剂量CT成像问题,本文提出了一个基于广义惩罚加权最小二乘的低剂量CT重建方法,并在一定条件下建立了算法的全局收敛性定理.首先对投影数据进行统计建模构建广义加权最小二乘保真项,并且将二次先验信息引入投影数据的恢复过程中,从而达到抑制噪声的目的,最后使用经典的滤波反投影算法对恢复后的投影数据进行解析重建.实验结果表明,与惩罚加权最小二乘方法相比,新方法可以有效地抑制低剂量CT图像中的噪声和伪影,同时可以很好地保持图像的结构信息和空间分辨率.