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计算数学 2019年 41卷

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1. 子空间聚类的重建模型及其快速算法
夏雨晴, 张振跃
计算数学    2019, 41 (1): 1-11.   DOI: 10.12286/jssx.2019.1.1
摘要589)      PDF(pc) (486KB)(668)    收藏
有限样本的子空间数据聚类建模及其大规模计算是子空间学习面临的主要问题.现有的大多数模型都不适合大规模计算.本文提出了一个新的优化模型,结合谱投影反馈和辅助信息优化.在提升模型的学习能力的同时,采用高效的分片符号更新算法,可以适合大规模计算.我们用较大规模的模拟例子和实际例子,分析检验了新的优化模型及其快速算法的优于现有其他模型与算法的有效性.
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2. 随机微分方程改进的分裂步单支θ方法的强收敛性
张维, 王文强
计算数学    2019, 41 (1): 12-36.   DOI: 10.12286/jssx.2019.1.12
摘要542)      PDF(pc) (486KB)(463)    收藏
本文提出了一个改进的分裂步单支θ方法,在漂移项系数满足单边Lipschitz条件下,证明了当数值方法的参数θ满足1/2 ≤ θ ≤ 1时,该数值方法对于这类随机微分方程是强收敛的,并在现有文献的基础上将方法的收敛阶从1/2阶提高到1阶;当0 ≤ θ ≤ 1/2时,若漂移项系数进一步满足线性增长条件,该数值方法也是强收敛的,收敛阶为1阶.文末的数值试验验证了理论结果的正确性.
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3. 求解矩阵方程AXB+CXD=F参数迭代法的最优参数分析
闫熙, 马昌凤
计算数学    2019, 41 (1): 37-51.   DOI: 10.12286/jssx.2019.1.37
摘要670)      PDF(pc) (451KB)(542)    收藏
本文针对求矩阵方程AXB+CXD=F唯一解的参数迭代法,分析当矩阵A,B,C,D均是Hermite正(负)定矩阵时,迭代矩阵的特征值表达式,给出了最优参数的确定方法,并提出了相应的加速算法.
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4. 非Hermitian正定线性方程组的外推的HSS迭代方法
潘春平, 王红玉, 曹文方
计算数学    2019, 41 (1): 52-65.   DOI: 10.12286/jssx.2019.1.52
摘要609)      PDF(pc) (376KB)(517)    收藏
为了高效地求解大型稀疏非Hermitian正定线性方程组,在白中治、Golub和Ng提出的Hermitian和反Hermitian分裂(HSS)迭代法的基础上,通过引入新的参数并结合迭代法的松弛技术,对HSS迭代方法进行加速,提出了一种新的外推的HSS迭代方法(EHSS),并研究了该方法的收敛性.数值例子表明:通过参数值的选择,新方法比HSS方法具有更快的收敛速度和更少的迭代次数,选择了合适的参数值后,可以提高HSS方法的收敛效率.
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5. 第二类端点奇异Fredholm积分方程的分数阶退化核方法
王同科, 樊梦
计算数学    2019, 41 (1): 66-81.   DOI: 10.12286/jssx.2019.1.66
摘要763)      PDF(pc) (425KB)(480)    收藏
本文针对第二类端点奇异Fredholm积分方程构造基于分数阶Taylor展开的退化核方法,设计了两种计算格式,一是在全区间上使用分数阶Taylor展开式近似核函数,二是在包含奇点的小区间上采用分数阶插值,在剩余区间上采用分段二次多项式插值逼近核函数.讨论了两种退化核方法收敛的条件,并给出了混合插值法的收敛阶估计.数值算例表明对于非光滑核函数分数阶退化核方法有着良好的计算效果,且混合二次插值法比全区间上的分数阶退化核方法有着更广泛的适用范围.
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被引次数: CSCD(1)
6. 时间延迟扩散-波动分数阶微分方程有限差分方法
王志强, 文立平, 朱珍民
计算数学    2019, 41 (1): 82-90.   DOI: 10.12286/jssx.2019.1.82
摘要865)      PDF(pc) (453KB)(624)    收藏
本文提出求解时间延迟扩散-波动分数阶微分方程有限差分方法,方程中对时间的一阶导函数用α阶(0 < α < 1) Caputo分数阶导数代替.文章中利用Lubich线性多步法对分数阶微分进行差分离散,且文章利用分段区间证明该方法是稳定的,且利用数值实验加以验证.
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7. 一类弱非线性互补问题的广义模系矩阵多分裂多参数加速松弛迭代方法
李郴良, 田兆鹤, 胡小媚
计算数学    2019, 41 (1): 91-103.   DOI: 10.12286/jssx.2019.1.91
摘要465)      PDF(pc) (343KB)(449)    收藏
本文提出一类求解弱非线性互补问题的广义模系矩阵多分裂多参数加速松弛迭代方法,并给出了系数矩阵为H+-矩阵时该方法的收敛性分析.数值实验表明新方法是有效的.
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8. 含分布时滞的时滞微分系统多步龙格-库塔方法的时滞相关稳定性
丛玉豪, 胡洋, 王艳沛
计算数学    2019, 41 (1): 104-112.   DOI: 10.12286/jssx.2019.1.104
摘要428)      PDF(pc) (286KB)(418)    收藏
本文研究了一类含分布时滞的时滞微分系统的多步龙格-库塔方法的稳定性.基于辐角原理,本文给出了多步龙格-库塔方法弱时滞相关稳定性的充分条件,并通过数值算例验证了理论结果的有效性.
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9. 类Hartree-Fock方程的数值方法
林霖
计算数学    2019, 41 (2): 113-125.   DOI: 10.12286/jssx.2019.2.113
摘要818)      PDF(pc) (531KB)(768)    收藏
本文的主要目的是介绍近年来大基组下的类Hartree-Fock方程数值求解的一些进展.类Hartree-Fock方程出现在Hartree-Fock理论和含杂化泛函的Kohn-Sham密度泛函理论中,是电子结构理论中一类重要的方程.该方程在复杂的化学和材料体系的电子结构计算中有广泛地应用.由于计算代价的原因,类Hartree-Fock方程一般只被用在较小规模的量子体系(含几十到几百个电子)的计算.从数学角度上讲,类Hartree-Fock方程是一个非线性积分-微分方程组,其计算代价主要来自于积分算子的部分,也就是Fock交换算子.通过发展和结合自适应压缩交换算子方法(ACE),投影的C-DⅡS方法(PC-DⅡS)方法,以及插值可分密度近似方法(ISDF),我们大大降低了杂化泛函密度泛函理论的计算代价.以含1000个硅原子的体系为例,我们将平面波基组下的杂化泛函的计算代价降至接近不含Fock交换算子的半局域泛函计算的水平.同时,我们发现类Hartree-Fock方程的数学结构也为一类特征值问题的迭代求解提供了新的思路.
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被引次数: CSCD(1)
10. 高阶分裂步(θ1,θ2,θ3)方法的强收敛性
岳超
计算数学    2019, 41 (2): 126-155.   DOI: 10.12286/jssx.2019.2.126
摘要785)      PDF(pc) (696KB)(422)    收藏
本文首先提出一类高阶分裂步(θ1θ2θ3)方法求解由非交换噪声驱动的非自治随机微分方程.其次在漂移项系数满足多项式增长和单边Lipschitz条件下,证明了当1/2 ≤ θ2 ≤ 1时该方法是1阶强收敛的.此类方法包含很多经典的方法:如随机θ-Milstein方法,向后分裂步Milstein方法等.最后数值实验验证了所得结论.
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11. Qp空间中的de la Vallée Poussin平均
陈英伟, 王钥
计算数学    2019, 41 (2): 156-169.   DOI: 10.12286/jssx.2019.2.156
摘要433)      PDF(pc) (321KB)(377)    收藏
本文研究了单位球上的Qp空间中的de la Vallée Poussin平均算子,并通过高阶光滑模来建立Jackson逼近定理.此外,我们还得到了Bernstein不等式,K-泛函和光滑模的等价刻画等结果.
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12. 求解Riesz空间分数阶扩散方程的一种新的数值方法
杨晋平, 李志强, 闫玉斌
计算数学    2019, 41 (2): 170-190.   DOI: 10.12286/jssx.2019.2.170
摘要562)      PDF(pc) (418KB)(491)    收藏
本文利用Diethelm方法构造了一种逼近Riesz空间分数阶导数的O(△x3-α)格式,其中1 < α < 2,△x是空间步长.进一步对一阶时间导数采用Crank-Nicolson方法离散,得到了求解Riesz空间分数阶扩散方程的一种新的有限差分格式,并用矩阵方法证明了稳定性和收敛性,其误差估计为O(△t2+△x3-α),其中△t为时间步长.最后,数值算例验证了差分格式的正确性和有效性.
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13. 非线性抛物方程混合有限元方法的高精度分析
王俊俊, 李庆富, 石东洋
计算数学    2019, 41 (2): 191-211.   DOI: 10.12286/jssx.2019.2.191
摘要679)      PDF(pc) (423KB)(435)    收藏
采用双线性元及零阶Raviart-Thomas元(Q11+Q10×Q01)对非线性抛物方程讨论了一种H1-Galerkin混合有限元方法.提出一个线性化的二阶格式,利用数学归纳法有技巧的导出了原始变量uH1(Ω)模意义下及流量p=▽uL2(Ω)模意义下的Oh2+τ2)阶超逼近性质.引入一个有关初始点的时间离散方程,并利用其得到了▽ ·在L2(Ω)模意义下的Oh2+τ2)阶的超逼近结果.同时利用插值后处理技巧得到整体超收敛.最后,数值算例结果验证了理论分析(其中,h是剖分参数,τ是时间步长).
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14. 线性分式多乘积规划问题的完全多项式时间近似算法
申子慧, 申培萍
计算数学    2019, 41 (2): 212-218.   DOI: 10.12286/jssx.2019.2.212
摘要487)      PDF(pc) (283KB)(529)    收藏
本文针对线性分式多乘积规划问题,通过Charnes-Cooper转化将原问题转化为一个等价问题,借助此等价问题提出一个获得原问题全局近似最优解的算法,最终证明了算法的收敛性,且提供了算法运算时间的理论分析.
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15. 关于“一类非奇异H-矩阵判定的新条件”一文的注记
庹清, 陈茜
计算数学    2019, 41 (2): 219-224.   DOI: 10.12286/jssx.2019.2.219
摘要411)      PDF(pc) (259KB)(414)    收藏
通过构造新的正对角因子元素,本文给出了几个判定非奇异H-矩阵新的充分条件,改进和推广了"一类非奇异H-矩阵判定的新条件"一文的主要结果,并用数值例子说明了文中结果判定范围的更加广泛性.
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16. 无中心优化的算子分裂方法
印卧涛
计算数学    2019, 41 (3): 225-241.   DOI: 10.12286/jssx.2019.3.225
摘要1069)      PDF(pc) (552KB)(683)    收藏
在某些多智能体系统中,由于受到通讯等因素的限制,单个智能体只能进行本地计算,再与相邻智能体交换数据.与传统的并行和分布式计算不同,这种数据交换方式不再使用中心节点或者共享内存,而仅限于相邻节点之间.这种通过局部数据交换而实现全网目标的方式叫做无中心计算.比如,从任意的多个数开始,所有智能体通过不断地计算其局部平均,就都能收敛到这些数的平均值.无中心计算有不易形成通讯和计算瓶颈的优点,更适合分布的节点,因此受到一些应用的欢迎.
本文介绍求解一致最优化问题的若干无中心算法.一致最优化问题的目标是全网所有节点的变量收敛到同一个、并使所有目标函数之和最小的值.我们可以通过推广求平均的无中心方法去实现这个目标,但是得到算法比普通(有中心的)优化算法收敛得更慢,有阶数差距.近年来,一些新的无中心算法弥补了这个阶数差距.本文采用算子分裂的统一框架,以比这些算法原文更为简单的形式介绍这些方法.
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被引次数: CSCD(1)
17. 扩散方程一种无条件稳定的保正并行有限差分方法
贾东旭, 盛志强, 袁光伟
计算数学    2019, 41 (3): 242-258.   DOI: 10.12286/jssx.2019.3.242
摘要557)      PDF(pc) (436KB)(478)    收藏
本文针对扩散方程提出了一种保正的并行差分格式,并且这个格式为无条件稳定的.我们在每个时间层将计算区域分成许多个子区域以便于实施并行计算.格式构造中首先我们使用前两个时间层的计算结果在分区界面处通过一种非线性的保正外插来预估子区域界面值.然后在每个子区域内部使用经典的全隐格式进行计算.最后在界面处使用全隐格式进行校正(本质上这一步计算是显式计算).我们给出了一维与二维情形下的保正并行差分格式,并相应的给出了无条件稳定性证明.数值实验显示此并行格式具有二阶数值精度,而且无条件稳定性与保正性也均在数值实验中得到验证.
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被引次数: CSCD(1)
18. 求解定常不可压Stokes方程的两层罚函数方法
李世顺, 祁粉粉, 邵新平
计算数学    2019, 41 (3): 259-265.   DOI: 10.12286/jssx.2019.3.259
摘要443)      PDF(pc) (322KB)(336)    收藏
借助于两套有限元网格空间提出了一种求解定常不可压Stokes方程的两层罚函数方法.该方法只需要求解粗网格空间上的Stokes方程和细网格空间上的两个易于求解的罚参数方程(离散后的线性方程组具有相同的对称正定系数矩阵).收敛性分析表明粗网格空间相对于细网格空间可以选择很小,并且罚参数的选取只与粗网格步长和问题的正则性有关.因此罚参数不必选择很小仍能够得到最优解.最后通过数值算例验证了上述理论结果,并且数值对比可知两层罚函数方法对于求解定常不可压Stokes方程具有很好的效果.
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19. 二维线性双曲型方程Neumann边值问题的紧交替方向隐格式
盛秀兰, 赵润苗, 吴宏伟
计算数学    2019, 41 (3): 266-294.   DOI: 10.12286/jssx.2019.3.266
摘要492)      PDF(pc) (459KB)(371)    收藏
对二维Neumann边界条件的线性双曲型方程建立了紧交替方向的隐格式.利用方程和边界条件得到在空间上的三阶与五阶导数的边界值,进而在内点、边界内点和边界角点分别建立9点、6点和4点紧差分格式;通过引进新的范数和L2范数估计L范数;借助能量估计、Gronwall不等式和Schwarz不等式等技巧,详细分析了差分格式在无穷范数下关于时间和空间分别为二阶和四阶收敛性,并给出了稳定性结果;通过数值算例,验证了理论分析结果.
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20. 带非线性源项的双侧空间分数阶扩散方程的隐式中点方法
胡冬冬, 曹学年, 蒋慧灵
计算数学    2019, 41 (3): 295-307.   DOI: 10.12286/jssx.2019.3.295
摘要395)      PDF(pc) (380KB)(421)    收藏
本文用隐式中点方法离散一阶时间偏导数,并用拟紧差分算子逼近Riemann-Liouville空间分数阶偏导数,构造了求解带非线性源项的空间分数阶扩散方程的数值格式.给出了数值方法的稳定性和收敛性分析.数值试验表明数值方法是有效的.
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21. 解线性互补问题的预处理加速模Gauss-Seidel迭代方法
戴平凡, 李继成, 白建超
计算数学    2019, 41 (3): 308-319.   DOI: 10.12286/jssx.2019.3.308
摘要638)      PDF(pc) (360KB)(483)    收藏
本文提出了解线性互补问题的预处理加速模系Gauss-Seidel迭代方法,当线性互补问题的系统矩阵是M-矩阵时证明了方法的收敛性,并给出了该预处理方法关于原方法的一个比较定理.数值实验显示该预处理迭代方法明显加速了原方法的收敛.
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22. 基于距离相关系数的分层聚类法
张璐, 孔令臣, 陈黄岳
计算数学    2019, 41 (3): 320-334.   DOI: 10.12286/jssx.2019.3.320
摘要779)      PDF(pc) (598KB)(516)    收藏
随着大数据时代的到来,各个领域涌现出海量数据且结构复杂.如变量的维数不同、尺度不同等.而现实中变量之间往往存在着不确定关系,经典的Pearson相关系数仅能反映两个同维变量间的线性相关关系,不足以完全刻画变量间的相关关系.2007年Szekely等提出的距离相关系数则能描述不同维数变量间的非线性关系.为了探索变量之间的内在信息,本文基于距离相关系数提出了最大距离相关系数法对变量聚类,且有超度量性和空间收缩性.为充分发挥距离相关系数的优势,对上述方法改进得到类整体距离相关系数法.该方法在刻画两类间相似性时,将每类中的所有变量合并成一个整体,再计算这两个不同维数的整体间的距离相关系数.最后,将类整体距离相关系数法应用到几个实际问题中,验证了算法的有效性.
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23. 双倍维Jacobi矩阵逆问题的改进算法
孟纯军, 杨泽昱, 李晗
计算数学    2019, 41 (3): 335-342.   DOI: 10.12286/jssx.2019.3.335
摘要414)      PDF(pc) (316KB)(400)    收藏
本文给出了一种解决双倍维Jacobi矩阵逆问题的改进算法.该算法避免了重新构造顺序主子矩阵Jn,也避免了计算尾主子矩阵Jn+1,2n的特征多项式以及特征值,因此本文的改进算法具有更好的稳定性和精度.给出的两个数值实例说明,本文的改进算法是有效的,比现有的几种算法具有更高的精度.
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24. 图像反问题中的数学与深度学习方法
董彬
计算数学    2019, 41 (4): 343-366.   DOI: 10.12286/jssx.2019.4.343
摘要2579)      PDF(pc) (695KB)(1738)    收藏
我们生活在数字的时代,数据已经成为了我们生活中不可或缺的一部分,而图像无疑是最重要的数据类型之一.图像反问题,包括图像降噪,去模糊,修复,生物医学成像等,是图像科学中的重要领域.计算机技术的飞速发展使得我们可以用精细的数学和机器学习工具来为图像反问题设计有效的解决方案.本文主要回顾图像反问题中的三大类方法,即以小波(框架)为代表的计算调和分析法、偏微分方程(PDE)方法和深度学习方法.我们将回顾这些方法的建模思想和一些具体数学形式,探讨它们之间的联系与区别,优点与缺点,探讨将这些方法有机融合的可行性与优势.
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25. 一类融合逼近和插值的曲线细分
马欢欢, 张莉, 唐烁, 檀结庆
计算数学    2019, 41 (4): 367-380.   DOI: 10.12286/jssx.2019.4.367
摘要1272)      PDF(pc) (668KB)(841)    收藏
采用生成多项式为主的方法对一类融合逼近和插值三重细分格式的支撑区间、多项式生成、连续性、多项式再生及分形性质进行了分析,给出并证明了极限曲线Ck连续的充分条件.通过对融合型细分规则中参数变量的适当选择来实现对极限曲线的形状调整,从而衍生出具有良好性质的新格式,并将这类新格式与现有格式进行比较.数值实例表明这类新格式生成的极限曲线具有较好的保形性.
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26. 非定常对流扩散方程保正格式解的存在性
张燕美, 兰斌, 盛志强, 袁光伟
计算数学    2019, 41 (4): 381-394.   DOI: 10.12286/jssx.2019.4.381
摘要536)      PDF(pc) (927KB)(696)    收藏
本文发展了非定常对流扩散方程的非线性保正格式.该格式为单元中心型有限体积格式,保持局部通量的守恒性,适用于任意星形多边形网格,本文证明了该离散格式解的存在性,并给出数值结果,表明该格式具有二阶精度.
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27. 二阶锥线性互补问题的广义模系矩阵分裂迭代算法
李枝枝, 柯艺芬, 储日升, 张怀
计算数学    2019, 41 (4): 395-405.   DOI: 10.12286/jssx.2019.4.395
摘要583)      PDF(pc) (380KB)(766)    收藏
通过将二阶锥线性互补问题转化为等价的不动点方程,介绍了一种广义模系矩阵分裂迭代算法,并研究了该算法的收敛性.进一步,数值结果表明广义模系矩阵分裂迭代算法能够有效地求解二阶锥线性互补问题.
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28. 一类张量特征值互补问题
罗刚, 杨庆之
计算数学    2019, 41 (4): 406-418.   DOI: 10.12286/jssx.2019.4.406
摘要565)      PDF(pc) (422KB)(720)    收藏
矩阵特征值互补问题在力学系统领域有广泛的应用.在本文中,我们提出了一类特殊的四阶张量特征值互补问题,它是矩阵特征值互补问题的推广.我们对该特征值互补问题解的存在性,计算复杂度等性质进行了初步的研究.在一定条件下,我们建立了该互补问题同一类非线性约束优化问题的等价性联系,并由此提出了平移投影幂法来求解该特征值互补问题.
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29. 矩阵形式二次修正Maxwell-Dirac系统的多尺度算法
付姚姚, 曹礼群
计算数学    2019, 41 (4): 419-439.   DOI: 10.12286/jssx.2019.4.419
摘要547)      PDF(pc) (4591KB)(649)    收藏
带二次修正项的Dirac方程在拓扑绝缘体、石墨烯、超导等新材料电磁光特性分析中有着十分广泛的应用.本文工作的创新点有:一是首次提出了矩阵形式带有二次修正项的Dirac方程,它是比较一般的数学框架,涵盖了上述材料体系很多重要的物理模型,具体见附录A;二是针对上述材料体系的电磁响应问题,提出了有界区域Weyl规范下具有周期间断系数矩阵形式带二次修正项Maxwell-Dirac系统的多尺度渐近方法,结合Crank-Nicolson有限差分方法和自适应棱单元方法,发展了一类多尺度算法.数值试验结果验证了多尺度渐近方法的正确性和算法的有效性.
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30. 带乘性噪声的空间分数阶随机非线性Schrödinger方程的广义多辛算法
刘子源, 梁家瑞, 钱旭, 宋松和
计算数学    2019, 41 (4): 440-452.   DOI: 10.12286/jssx.2019.4.440
摘要599)      PDF(pc) (1466KB)(676)    收藏
带乘性噪声的空间分数阶随机非线性Schrödinger方程是一类重要的方程,可应用于描述开放非局部量子系统的演化过程.该方程为一个无穷维分数阶随机Hamilton系统,且具有广义多辛结构和质量守恒的性质.针对该方程的广义多辛形式,在空间上采用拟谱方法离散分数阶微分算子,在时间上则采用隐式中点格式,构造出一类保持全局质量的广义多辛格式.对行波解和平面波解等进行数值模拟,结果验证了所构造格式的有效性和保结构性质,时间均方收敛阶约在0.5到1之间.
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