水凝胶是一种具有广泛应用前景的软物质材料，一直是材料学家、物理化学家们关心的热点，目前有很多实验和专利产品.其机理和模型的研究处于初期阶段，本文综述该领域的部分进展，包括形变、微结构和宏观性质等的数学模型和相关计算方法，一并列出一些亟待解决的问题.

本文我们利用预处理技术推广了求解线性互补问题的二步模基矩阵分裂迭代法，并针对H-矩阵类给出了新方法的收敛性分析，得到的理论结果推广了已有的一些方法.

本文主要研究用隐显单支方法求解一类刚性Volterra延迟积分微分方程初值问题时的稳定性与误差分析。我们获得并证明了结论：若隐显单支方法满足2阶相容条件，且其中的隐式单支方法是A-稳定的，则隐显单支方法是2阶收敛且关于初值扰动是稳定的.最后，由数值算例验证了相关结论.

针对带不等式约束的极大极小问题，借鉴一般约束优化问题的模松弛强次可行SQP算法思想，提出了求解不等式约束极大极小问题的一个新型模松弛强次可行SQCQP算法.首先，通过在QCQP子问题中选取合适的罚函数，保证了算法的可行性以及目标函数F（x）的下降性，同时简化QCQP子问题二次约束项参数α_k的选取，可保证算法的可行性和收敛性.其次，算法步长的选取合理简单.最后，在适当的假设条件下证明了算法具有全局收敛性及强收敛性.初步的数值试验结果表明算法是可行有效的.

听音辨鼓这个反问题发展至今已经半个世纪，许多数学和物理学家都做出了很多有益的贡献.这个挑战性问题由美国数学家M.Kac 1966年正式提出，用数学语言描述为欧几里得空间中，是否可以找到两个（或更多）非等距单连通区域是等谱的?C.Gordon等人1992年在二维平面上给出一对等谱区域，首次对Kac的问题说"No".问题发展至今，只有17类平面等谱区域.它们都遵循一系列镜像反演规则，成对等谱，保持反演规则不变，改变基本构建块的形状，可以形成无穷多同类的等谱对.本文重访17类等谱区域，探究构建块之间的镜像反演规则.通过折叠方法，建立17类等谱区域特征函数之间的迁移映射关系.结合符号计算，列出17类等谱区域移植矩阵的通解.此外，利用Bernstein-Bézier多项式，计算等谱区域的广义特征值.

本文考虑求解一种源于信号及图像处理问题的鞍点问题.基于邻近点算法的思想，我们对原始-对偶算法进行改进，构造一种对称正定且可变的邻近项矩阵，得到一种新的原始-对偶算法.新算法可以看成一种邻近点算法，因此它的收敛性易于分析，且无需较强的假设条件.初步实验结果表明，当新算法被应用于求解图像去模糊问题时，和其他几种主流的高效算法相比，新算法能得到较高质量的结果，且计算时间也是有竞争力的.

为了使得Catmull-Rom型样条兼具形状可调性与高阶连续性，提出了一类带参数的拟Catmull-Rom样条函数.该样条函数不仅无需求解方程系统即可自动达到C³连续，而且还可通过所带的2个参数对插值曲线的形状进行调整.通过确定所带参数的最优取值，可获得最佳拟Catmull-Rom样条插值函数.

本文针对体积约束的非局部扩散问题构造了新的后验误差指示器，证明了后验误差指示器的可靠性以及有效性.数值算例验证了理论结果.

本文主要讨论求解高波数Helmholtz方程的多水平方法，主要回顾了一些具有代表性的多重网格方法.如Erlangga等人的shifted Laplacian预处理的多重网格法；Elman等提出的修正的多重网格方法；以及我们的基于连续内罚有限元（CIP-FEM）离散代数系统的多水平算法.最后还介绍了求解高波数时谐Maxwell方程的CIP-FEM离散代数系统的多水平算法.

Helmholtz问题的数值模拟在科学工程计算领域有着广泛的应用，快速高效求解Helmholtz方程离散代数系统一直是科学计算的重要研究方向.本文简要回顾了Helmholtz方程的区域分解型求解器的发展历程，重点介绍了我们提出的Robin型区域分解算法，同时比较了各类算法的优劣和特点.近年来Helmholtz方程的求解效率有了极大的提升，然而仍有一些本质困难尚待突破，如何高效求解Helmholtz方程，仍是具有挑战意义的研究课题.

本文考虑求解Helmholtz方程的有限元方法的超逼近性质以及基于PPR后处理方法的超收敛性质.我们首先给出了矩形网格上的p-次元在收敛条件k（kh）^2p+1≤C₀下的有限元解和基于Lobatto点的有限元插值之间的超逼近以及重构的有限元梯度和精确解之间的超收敛分析.然后我们给出了四边形网格上的线性有限元方法的分析.这些估计都给出了与波数k和网格尺寸h的依赖关系.同时我们回顾了三角形网格上的线性有限元的超收敛结果.最后我们给出了数值实验并且结合Richardson外推进一步减少了误差.

文章对最近二十年来Helmholtz方程有限差分方法方面的发展进行了概述.以相位误差为基础，文章分别对一维、二维、三维空间中该方面的研究结果进行了陈述，阐述了各种方法之间的差别与联系，特别展现了在高波数情况下不同差分格式对Helmholtz方程的计算效果，并且对高波数Helmholtz方程有限差分方法研究中现在存在的一些主要困难进行了讨论.

本文介绍高波数Helmholtz方程的有限元方法和连续内罚有限元方法.将以线性元情形为例，给出方法的明显依赖于波数k的预渐近稳定性和误差分析.我们将介绍三种证明方法.我们还讨论了内罚有限元方法的罚参数的选取以显著减少方法的污染误差.最后还给出数值例子验证理论结果.

整体几何光学方法是一种新的求解高频线性波动方程初值问题的渐进近似理论.该理论最初是对WKB初值数据问题提出来的.在本文中，我们将采用不同的方法，对这一方法予以重新推导，使得该理论同样适用于初值为扩展WKB函数的情形.特别地，我们将建立的理论用于薛定谔方程传播子的半经典近似上来.结果表明，整体几何光学方法提供的波场近似恰好是Kay提出的半相空间公式的一个实例.作为副产品，我们指出Van Vleck近似中起到关键作用的Maslov指标可以通过一个简单的代数关系式来确定.

为了更好地修改给定的样条曲线曲面，构造了满足几何连续的带两类形状参数的代数三角多项式样条曲线曲面，简称为AT-β-Spline.这种代数三角曲线曲面不仅具有普通三角多项式的性质，而且具有全局的和局部的形状可调性.同时还具备较为灵活的连续性.当两类形状参数在给定的范围内任意取值时，这种带两类形状参数的AT-β-Spline曲线满足一阶几何连续性；如果给定两段相邻曲线段中的两类形状参数满足-1≤ α ≤ 1，μ_i=λ_i+1或μ_i=λ_i=μ_i+1=λ_i+1时，则带两类形状参数的AT-β-Spline曲线满足C¹∩G²连续.另外利用奇异混合的思想，构造了满足C¹∩ G²插值AT-β-Spline曲线，解决曲线反求的几何连续性等问题.同时还给出了旋转面的构造，描述了两类形状参数对旋转面的几何外形的影响；当形状参数取特殊值时，这种AT-β-Spline曲线曲面可以精确地表示圆锥曲线曲面.从实验的结果来看，本文构造的AT-β-Spline曲线曲面是实用的有效的．

针对线性代数方程组Ax=b，利用矩阵分解的思想，构造一类特殊五对角与七对角对称正定阵的矩阵分解，获得这类矩阵反问题解存在的充要条件和通解表达式.最后，给出了具体算法与数值算例.

本文处理二维和三维Helmholtz方程的边界数据复原问题.通过利用位势理论近似问题的解，导出了解决Cauchy问题的一种非迭代积分方程方法.为了处理形成问题的不适定性，采用了Tikhonov正则化结合Morozov偏差原理的方法，并且给出了算法的收敛性和误差估计，最后给出了二维和三维的数值算例.通过数值算例我们检验了源点和边界之间距离的关系，算法关于噪声、源点数目的数值收敛性，稳定性.

分块交替分裂隐式迭代方法是求解具有鞍点结构的复线性代数方程组的一类高效迭代法.本文通过预处理技巧得到原方法的一种加速改进方法，称之为预处理分块交替分裂隐式迭代方法.理论分析给出了新方法的收敛性结果.对于一类时谐涡旋电流模型问题，我们给出了若干满足收敛条件的迭代格式.数值实验验证了新型算法是对原方法的有效改进.

本文针对几乎不可压线弹性问题设计新的Uzawa型自适应有限元方法，该方法可克服“闭锁”现象.通过引入“压力”变量将弹性问题转化为一个鞍点系统，对该系统将Uzawa型迭代法和自适应有限元方法相结合，建立了Uzawa型自适应有限元方法，并给出了该算法的收敛性.该算法采用低阶协调有限元逼近空间变量，选取的有限元空间对无需满足离散的BB条件.最后，数值算例验证了理论结果的正确性.

在各向异性网格下，针对具有Caputo导数的二维多项时间分数阶扩散方程，给出了线性三角形元的高精度分析.首先，基于线性三角形元和改进的L₁格式，建立了一个全离散逼近格式，并证明了其无条件稳定性；其次，利用有限元插值算子与Riesz投影算子之间的关系及相关的高精度结果，导出了超逼近性质.进而，借助于插值后处理技术得到了超收敛估计.值得指出的是，单独利用插值算子或Riesz投影都无法得到上述超逼近和超收敛结果.最后，利用数值算例验证了理论分析的正确性.此外，对一些常见的有限单元在该方程的数值逼近方面，作了进一步探讨.

本文利用平均值离散梯度给出了一个构造哈密尔顿偏微分方程的局部能量守恒格式的系统方法.并用非线性耦合Schrödinger-KdV方程组加以说明.证明了格式满足离散的局部能量守恒律，在周期边界条件下，格式也保持离散整体能量及系统的其它两个不变量.最后数值实验验证了理论结果的正确性.

本文提出Toeplitz矩阵填充的四种流形逼近算法。在左奇异向量空间中对已知部分运用最小二乘法逼近，形成新的可行矩阵；并将对角线上的元素分别用均值，l₁范数，l_∞范数和中间数四种方法逼近使得迭代后的矩阵仍保持Toeplitz结构，节约了奇异向量空间的分解时间。最终找到合理的低秩矩阵来逼近未知的高秩矩阵，进而精确地完成Toeplitz矩阵的填充。理论上，分析了在一定条件下算法的收敛性。实验上，通过取不同的采样密度进行数值实验展示了四种算法的优劣。实验结果说明均值算法和l_∞范数算法大多用的时间较少，但是当采样密度和矩阵规模较大时，中间数算法的精度较高。

稀疏线性规划在金融计算、工业生产、装配调度等领域应用十分广泛.本文首先给出稀疏线性规划问题的一般模型并证明问题是NP困难问题；其次采用交替方向乘子法（ADMM）求解该问题；最后证明了算法在近似问题上的收敛性.数值实验表明，算法在大规模数值算例上的表现优于已有的混合遗传算法；同时通过对金融实例的计算验证了算法及模型在稀疏投资组合问题上的有效性.

聚类与图的划分问题在大数据分析中有着重要的应用.这类问题一般被描述为组合优化问题，因此较难快速求解.本文设计了一种新的连续优化模型，并提出了一种块坐标下降算法，数值实验显示我们的新方法在求解聚类与图的划分问题上很有潜力.我们还更进一步分析了我们的连续优化模型和组合优化模型的关系.

广义交替方向乘子法是求解凸优化问题的有效算法.当实际问题中子问题难以求解时，可以采用在子问题中添加邻近项的方法处理，邻近矩阵正定时，算法收敛，然而这也会使迭代步长较小.最新研究表明，邻近矩阵可以有一定的不正定性.本文在基于不定邻近项的广义交替方向乘子法框架下，提出一种自适应的广义交替方向乘子法，动态地选择邻近矩阵，增大迭代步长.在一些较弱的假设下，证明了算法的全局收敛性.我们进行一些初等数值实验，验证了算法的有效性.

在文献[10]中，作者从数值角度讨论核范数和谱范数下的广义Sylvester方程约束最小二乘问题
min_X∈S||Σ_i=1NA_iXB_i-C||
的算法，其中S为闭凸集合.采用的数值算法是非精确交替方向法，并结合阈值算法、Moreau-Yosida正则化算法、谱投影算法、LSQR，SPG等算法求解相应子问题.本文在文献[10]的基础上，通过引入新变量，应用交替方向法简化子问题的求解，其中每个子问题都可以精确求解，更重要的是每个变量都具有显式的表达式.在理论方面我们证明了算法的收敛性，数值试验表明改进后的算法不管是在时间上还是在迭代步上，运行的结果得到很大的改善.

随着大数据时代的到来，我们面临的数据越来越复杂，其中待估系数为矩阵的模型亟待构造和求解.无论在统计还是优化领域，许多专家学者都致力于矩阵模型的统计性质分析及寻找其最优解的算法设计.当随机误差期望为0且同方差时，采用基于最小二乘的模型可以很好地解决问题.当随机误差异方差，分布为重尾分布（如双指数分布，t-分布等）或数据含有异常值时，需要考虑稳健的方法来求解问题.常用的稳健方法有最小一乘，分位数，Huber等.目前稳健方法的研究大多集中于线性回归问题，对于矩阵回归问题的研究比较缺乏.本文从最小二乘模型讲起，对矩阵回归问题进行了总结和评述，同时列出了一些文献和简要介绍了我们的近期的部分工作.最后对于稳健矩阵回归，我们提出了一些展望和设想.

文主要回顾了单调算子理论与分裂算法的基本概念和结果，重点介绍Forward-Backward分裂算法和Douglas-Rachford分裂算法的收敛性理论及应用.同时，也介绍了这些方法处理非凸优化问题的最新进展以及一些前沿和热点问题.最后提出了几个未来可以继续研究的方向.

企业的商品流通配送问题是典型的线性多商品流问题.由于经营规模的扩大和全球化运营模式的推行，企业所面临的问题规模正变得空前巨大，数据存储也越来越分散，传统方法已无法适应求解需求.本文基于交替方向乘子法（ADMM）的可分解性，提出一类随机ADMM算法，将大规模的问题分解成多个、规模比较小的问题，并采取随机顺序去求解这些小问题以及对偶问题，最终得到原问题的最优解.算法克服了ADMM的直接拓展求解多块问题时可能发散的缺点，并采用MnetGen生成器随机生成的多个规模不同的线性多商品流问题对算法进行了测试，验证了算法的有效性和高效的求解效率.

本文研究组模下偏正则最小化问题，证明了解的存在性，稀疏性.研究了零空间性质对最优解的刻画.仔细探讨了解的一种单调性，并应用这种单调性说明最优化问题的求解可以分解到各组中.最后给出了一个所证定理在地震反演的应用.

多设施Weber问题（multi-source Weber problem，MWP）是设施选址中的重要模型之一，而Cooper算法是求解MWP最为常用的数值方法.Cooper算法包含选址步和分配步，两步交替进行直至达到局部最优解.本文对Cooper算法的选址步和分配步分别引入改进策略，提出改进Cooper算法：选址步中将Weiszfeld算法和adaptive Barzilai-Borwein （ABB）算法结合，提出收敛速度更快的ABB-Weiszfeld算法求解选址子问题；分配步中提出贪婪簇分割策略来处理退化设施，由此进一步提出具有更好性质的贪婪混合策略.数值实验表明本文提出的改进策略有效地提高了Cooper算法的计算效率，改进算法有着更好的数值表现.