隐显线性多步方法由隐式线性多步方法和显式线性多步法组合而成.本文主要讨论求解满足单边Lipschitz条件的非线性刚性初值问题和一类奇异摄动初值问题的隐显线性多步方法的误差分析.最后,由数值例子验证了所获的理论结果的正确性及方法处理这两类问题的有效性.

本文根据牛顿迭代和Chebyshev迭代法给出了一种新的迭代方法,该方法有较高的收敛阶,并在理论上给予了证明.最后给出了四个实例,将本文的实验结果与现有的几种方法的实验结果进行比较,表明我们的方法迭代次数少,有明显的优势.

本文基于移位的Legendre多项式构造一类新的正交拟Legendre多项式求解一类分数阶微分方程.用阶数随所求未知函数的微分的阶数而变化的拟Legendre多项式逼近未知函数;利用分数阶积分的性质推导拟Legendre多项式的积分算子阵,结合算子矩阵的思想和Tau方法,将问题转化为求解代数方程组的问题.最后,给出数值算例证明该方法的有效性.

在三次Cardinal插值样条曲线的基础上,引入了三角函数多项式,得到一组带调形参数的三次三角Cardinal样条基函数,以此构造一种可调形的三次三角Cardinal插值样条曲线.该插值样条可以精确表示直线、圆弧、椭圆以及自由曲线,改变调形参数可以调控插值曲线的形状.该插值样条避免了使用有理形式,其表达式较为简洁,计算量也相对较少,从而为多种线段的构造与处理提供了一种通用与简便的方法.

迭代支撑探测算法是基于截断的基追踪(BasisPursuit,BP)模型的一种l₁最小化信号重构算法,它可以实现信号的快速重构并且所需要的观测值比经典的L1算法以及迭代加权L1算法更少.本文针对非零元具有快速退化分布性质的稀疏信号,提出了一种改进算法——基于截断的加权BP模型的迭代支撑探测算法.
在迭代的过程中,改进的算法探测原信号支撑集中元素的同时调整重构模型的权值,使得重构模型更有利于实现信号的精确重构.根据所考虑的信号的非零元具有快速退化分布性质这样的先验信息,利用阈值法则探测原信号支撑集中的元素.最后通过Matlab数值实验实现了算法,验证了基于截断的加权BP模型的迭代支撑探测算法比迭代加权L1算法需要的观测值更少,并且比迭代加权L1算法以及传统的迭代支撑探测算法需要更少的重构时间就可以实现信号的精确重构.

本文研究了用以描述单物种人口模型的延迟Logistic方程的数值振动性.对方程应用隐式Euler方法进行求解,针对离散格式定义了指数隐式Euler方法,证明了该方法的收敛阶为1.根据线性振动性理论获得了数值解振动的充分条件.进而还对非振动数值解的性质作了讨论.最后用数值算例对理论结果进行了验证.

本文考虑二次有限体积法定价美式期权.构造了隐式欧拉和Crank-Nicolson两种全离散二次有限体积格式,并得到相应的线性互补问题.采用基于超松弛迭代的模方法求解线性互补问题,并与投影超松弛迭代法作数值比较.数值实验结果表明Crank-Nicolson二次有限体积格式的求解效率高于隐式欧拉格式,模方法的求解速度较快,二次有限体积法的求解精度较高.

本文在分层网格上分析了采用线性元的流线扩散有限元方法求解一维对流扩散型奇异摄动问题的一致收敛性.在ε≤N^-1的前提下,可以证明在SD范数下的一致误差估计为O≤(N^-1(log(1/ε)²).在数值算例部分对理论结果进行了验证.

本文研究了一类大型稀疏Hermitian鞍点线性系统
Az≡(_E*^B ₀^E)(_y^x)=(_g^f)≡b
系数矩阵的特征值,其中B∈C^p×p是Hermitian正定阵矩阵,E∈C^p×p是列降秩.本文分别给出了该系数矩阵正特征值与负特征值界的一个估计式,同时通过数值算例验证本文所给出的特征值界的估计是合理且有效的.

本文构造了带三次项的非线性四阶Schödinger方程的一个局部能量守恒格式.证明了该格式是线性稳定的,且能保持离散的整体能量守恒律及离散的电荷守恒律.最后通过数值算例验证了理论结果的正确性.

本文考虑了正规矩阵对的任意扰动时广义特征值的变化情况,给出了正规矩阵对任意扰动的Hoffman-Wielandt 型扰动界,推广了正规矩阵对的相应的扰动结果.

在应用边界元方法求解Helmholtz方程周期边值问题时,需要构造以周期Green函数或其偏导数为核函数的积分算子形式的解.由于Helmholtz方程的周期Green函数G^P是一个函数项级数,该级数的通项是Hankel函数,在数值求解中,需要对其进行截断,从而很有必要研究其截断误差.本文根据Hankel函数在变量趋于无穷大时的渐近展开式,并结合Abel不等式,证明了G^P及其一阶偏导和二阶混合偏导一致收敛,且其截断误差收敛阶均为O(1/√p).最后,通过数值实验验证了理论证明的正确性.本文的证明方法也可被用于证明其它一些方程周期Green函数的收敛性问题.

能量散逸性是物理和力学中某些微分方程一项重要的物理特性.构造精确地保持微分方程能量散逸性的数值格式对模拟具有能量散逸性的微分方程具有重要的意义.本文利用四阶平均向量场方法和傅里叶谱方法构造了Cahn-Hilliard方程高阶保能量散逸性格式.数值结果表明高阶保能量散逸性格式能很好地模拟Cahn-Hilliard方程在不同初始条件下解的行为,并且很好地保持了Cahn-Hilliard方程的能量散逸特性.

在各向异性网格下,针对一类非线性sine-Gordon方程利用最简单的双线性元Q₁₁及Q₀₁×Q₁₀元提出了一个自然满足Brezzi-Babuška条件的最低阶混合元新模式.基于Q₁₁元的积分恒等式结果,建立了插值与Ritz投影之间在H¹模意义下的超收敛估计,再结合关于Q₀₁×Q₁₀元的高精度分析方法和插值后处理技术,对于半离散和全离散格式,均导出了关于原始变量u和流量p=-▽u分别在H¹模和L²模意义下单独利用插值或Ritz投影所无法得到的超逼近性和超收敛结果.最后,我们对其它一些著名单元也进行了分析,进一步验证了所选单元的合理性和独特优势.

基于双线性元及其梯度所属空间,建立了非线性Schrödinger方程的自由度少且易满足B-B条件的新混合元格式.首先,利用双线性元的高精度分析和导数转移技巧,在半离散格式下,导出了原始变量在H¹模及流量在L²模意义下的超逼近性质,进而,借助于插值后处理算子,得到了整体超收敛结果.最后,对向后Euler和Crank-Nicolson-Galerkin全离散格式分别给出了原始变量的H¹模及c模和流量的L²模误差分析,并通过数值算例,表明逼近格式是高效的.

本文对一类广义分式规划问题,提出一种求其全局最优解的完全多项式时间近似算法,给出该算法的理论分析和计算复杂性,通过数值算例验证该算法是有效可行的.

在共轭梯度思想的启发下,结合线性投影算子,给出迭代算法求解了线性矩阵方程AXB+CYD=E的M对称解[X,Y]及其最佳逼近.当矩阵方程AXB+CYD=E的M有M对称解时,应用迭代算法,在有限的误差范围内,对任意初始M对称矩阵对[X₁,Y₁],经过有限步迭代可得到矩阵方程的M对称解;选取合适的初始迭代矩阵,还可得到极小范数M对称解.而且,对任意给定的矩阵对[X,Y],矩阵方程AXB+CYD=E的最佳逼近可以通过迭代求解新的矩阵方程AXB+CYD=E 的极小范数M对称解得到.文中的数值例子证实了该算法的有效性.

本文研究一类二维非线性的广义sine-Gordon (简称SG) 方程的有限差分格式.首先构造三层时间的紧致交替方向隐式差分格式,并用能量分析法证明格式具有二阶时间精度和四阶空间精度.然后应用改进的Richardson外推算法将时间精度提高到四阶.最后,数值算例证实改进后的算法在空间和时间上均达到四阶精度.

基于混合非单调下降条件提出了一种网格步长的更新策略.这种策略要求发现强最小网格单元框时网格步长快速下降,而发现其他拟最小网格单元框时缓慢下降.这种混合非单调下降策略可以避免网格步长下降太快,又能够比单纯非单调下降条件更好地保证直接搜索算法的收敛性.基于这一策略,本文提出一个直接搜索算法,并证明了该算法的全局收敛性.数值试验表明,本文提出的算法是很有竞争力的直接搜索算法.

对于守恒型扩散方程, 研究其二阶时间精度非线性全隐有限差分离散格式的性质, 证明了其解的存在唯一性.研究了二阶时间精度的Picard-Newton迭代格式, 证明了迭代解对原问题真解的二阶时间和空间收敛性, 以及对非线性离散解的二次收敛速度, 实现了非线性问题的快速求解.本文中方法也适用于一阶时间精度格式的分析, 并可推广至对流扩散问题.数值实验验证了二阶时间精度Picard-Newton迭代格式 的高精度和高效率.

针对三维任意(星形)多面体网格, 本文构造了扩散方程的一种单元中心型非线性有限体积格式, 证明了该格式具有保正性. 在该格式设计中, 除引入网格中心量外, 还引入网格节点量和网格面中心量作为中间未知量, 它们将用网格中心未知量线性组合表示, 使得格式仅有网格中心未知量作为基本未知量. 在节点量计算中, 利用网格面上的调和平均点, 设计了一种适用于三维多面体网格的局部显式加权方法. 该格式适用于求解非平面的网格表面和间断扩散系数的问题. 数值例子验证了它对光滑解具有二阶精度和保正性.

本文研究了全离散方法求解二维中子输运方程的有限元自适应算法, 角度变量用离散纵坐标方法展开, 空间变量用间断元方法求解. 基于间断元方法给出了空间离散的残量型后验误差估计. 在后验误差估计的基础上, 我们设计了自适应有限元算法.由残量型后验估计可以给出局部加密网格的自适应算法. 最后, 我们给出了数值算例来验证我们的理论结果.

本文对抛物型方程的Du Fort-Frankel(DFF)格式以及基于该格式构造的并行差分格式(DFF-I)进行了稳定性分析。采用矩阵分析方法, 证明了其无条件(LR)稳定性, 给出了DFF格式的稳定性系数的最小值的上界估计, 结果表明其与网格比有关, 从而DFF格式并非绝对稳定。本文改进了并行差分格式(DFF-I)的稳定性分析结果, 证明了其增长矩阵的谱半径严格小于1, 从而具有长时间稳定性。数值算例验证了DFF-I格式具有空间二阶精度, 且有很好的稳定性。

对基于MFCAV(Multi Fluid Channel on Averaged Volume)近似Riemann解法器的相容拉氏方法的熵条件进行了分析. 结果表明与满足声学形式Riemann解法器的熵不同, 前者只能在每个网格边界左、右两侧网格的熵随时间变化的和保证大于零, 即能保证整体熵增, 但不保证传统意义上的在每个网格中的熵增;而后者不仅保证整体熵增, 而且还满足传统意义上的熵增. 因此MFCAV的熵增相对声学形式解法器而言要弱一些, 由此表明其熵增可能要小些, 使得格式的耗散可能要小些.数值算例也验证了分析的正确性.

离散纵标格式是计算辐射输运方程的常用格式之一. 但是, 传统的离散纵标格式求解二维柱坐标系辐射输运方程模拟一维球对称问题时, 会出现明显的非对称现象, 球对称性被破坏. 针对该问题, 本文分析了传统离散纵标格式不能够保持球对称性的原因, 提出了空间基于柱坐标系、方向基于球坐标系的辐射输运方程, 并对该方程设计了新的离散纵标格式, 从理论上证明了当空间网格取球对称剖分时该离散格式能够保持一维球对称性的充分必要条件. 通过对真空球区域辐射输运、与物质耦合辐射输运等球对称算例的数值模拟, 验证了该格式的保球对称性, 球对称误差能够达到机器精度. 非对称辐射驱动模型以及非对称网格剖分条件下的数值模拟等算例也取得了较好的结果.

本文在星形多边形网格上, 构造了扩散方程新的单调有限体积格式.该格式与现有的基于非线性两点流的单调格式的主要区别是, 在网格边的法向流离散模板中包含当前边上的点, 在推导离散法向流的表达式时采用了定义于当前边上的辅助未知量, 这样既可适应网格几何大变形, 同时又兼顾了当前网格边上物理量的变化. 在光滑解情形证明了离散法向流的相容性.对于具有强各向异性、非均匀张量扩散系数的扩散方程, 证明了新格式是单调的, 即格式可以保持解析解的正性. 数值结果表明在扭曲网格上, 所构造的格式是局部守恒和保正的, 对光滑解有高于一阶的精度, 并且, 针对非平衡辐射限流扩散问题, 数值结果验证了新格式在计算效率和守恒精度上优于九点格式.

1990年, Pardoux和Peng(彭实戈)解决了非线性倒向随机微分方程(backward stochastic differential equation, BSDE)解的存在唯一性问题, 从而建立了正倒向随机微分方程组(forward backward stochastic differential equations, FBSDEs)的理论基础;之后, 正倒向随机微分方程组得到了广泛研究, 并被应用于众多研究领域中, 如随机最优控制、偏微分方程、金融数学、风险度量、非线性期望等.近年来, 正倒向随机微分方程组的数值求解研究获得了越来越多的关注, 本文旨在基于正倒向随机微分方程组的特性, 介绍正倒向随机微分方程组的主要数值求解方法.我们将重点介绍讨论求解FBSDEs的积分离散法和微分近似法, 包括一步法和多步法, 以及相应的数值分析和理论分析结果.微分近似法能构造出求解全耦合FBSDEs的高效高精度并行数值方法, 并且该方法采用最简单的Euler方法求解正向随机微分方程, 极大地简化了问题求解的复杂度.文章最后, 我们尝试提出关于FBSDEs数值求解研究面临的一些亟待解决和具有挑战性的问题.

在G.H. Lin 与 M. Fukushima思想的启发下, 针对一般形式的互补约束问题, 本文构造了一种新的松弛规划. 通过修正和简化G.H. Lin与M. Fukushima的证明方法, 在比其更弱的假设条件下获得了该松弛规划的收敛性质.

本文研究复杂网络中计算Katz指标的迭代法, 基于网络拓扑结构, 在快速Katz指标算法的基础上, 运用二级分裂迭代思想, 提出了具有两个参数的二级分裂迭代法, 并研究了该方法的收敛性. 基于该方法的收缩因子的计算公式, 讨论了迭代参数可能的选择, 通过参数的选择能有效提高二级迭代法的收敛效率. 最后通过数值实例验证了此方法的有效性.

本文研究了热传导方程初边值问题的半离散化差分格式直接解算法. 分别从Dirichlet和Neumann边界条件出发, 直接由空间差分格式导出与时间相关的一阶常微分方程组, 随后通过正/余弦变换获得了原方程的半解析解, 并给出了相关收敛性分析.并对中心差分格式和紧差分格式的精度差异, 通过矩阵特征值理论给出了相关原因分析. 另外, 对于二维热传导方程初边值问题, 应用矩阵张量积运算, 该直接解算法可直接演变成二重正(余)弦变换. 该方法由于不涉及时间上的离散, 从而具有较好的计算效率.

对于大规模无约束优化问题, 本文提出了一个充分下降的共轭梯度法公式, 并建立相应的算法. 该算法在不依赖于任何线搜索条件下, 每步迭代都能产生一个充分下降方向. 若采用标准Wolfe非精确线搜索求步长, 则在常规假设条件下可获得算法良好的全局收敛性. 最后, 对算法进行大规模数值试验, 并采用Dolan和Moré的性能图对试验效果进行刻画, 结果表明该算法是有效的.

本文考虑一类非线性延迟微分方程-带有单调造血率的造血模型数值解的振动性. 通过研究特征方程根的情况得到数值解振动的条件并且讨论了非振动的数值解的一些性质. 为了更有力的说明我们的结果, 最后给出了相应的算例.

本文研究四边形网格上求解粒子输运方程的有限体积格式, 其中角方向变量采用离散纵标(Sn)方法, 空间离散采用子网格平衡(SCB)格式. 利用能量估计方法, 证明了在正交网格上该格式的稳定性和离散解的收敛性.数值实验结果验证了格式的稳定性和离散解的收敛性.