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    计算神经科学
    周栋焯
    2021, 43 (2): 133-161.   DOI: 10.12286/jssx.j2021-0772
    摘要417)      PDF (1540KB)(380)   
    计算神经科学是近三十年来出现的一个新兴交叉学科,它强调采用数学定量的方法,如数学建模、理论分析和数值模拟等来研究和解决神经科学中的重要科学问题,一方面神经科学实验现象为发展新的数学模型、理论和算法提供了基础,另一方面通过数学定量,能反过来揭示神经科学实验现象背后的数理机制,发现新的科学规律.随着欧盟、美国、日本和我国脑计划的陆续推出,对大脑的探索已成为重要的前沿科学领域,同时随着数据科学、机器学习等领域的兴起,研究如何借鉴大脑的工作原理来实现类脑计算以及人工智能也成为了世界大国科技竞争的战略制高点.鉴于此,计算神经科学作为连接大脑神经科学与类脑人工智能两大研究领域的桥梁,在前沿科学领域和国家战略需求中的地位变得越来越重要.计算神经科学研究领域的发展,对于推动神经科学与数学、物理、统计、计算机、人工智能等其他自然科学学科及工程应用学科之间的共进发展,以及综合利用不同学科的优势互补来取得从零到一的重要科学突破有着重大意义.
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    复合凸优化的快速邻近点算法
    郦旭东
    2020, 42 (4): 385-404.   DOI: 10.12286/jssx.2020.4.385
    摘要579)      PDF (598KB)(597)   
    在大数据时代,随着数据采集手段的不断提升,大规模复合凸优化问题大量的出现在包括统计数据分析,机器与统计学习以及信号与图像处理等应用中.本文针对大规模复合凸优化问题介绍了一类快速邻近点算法.在易计算的近似准则和较弱的平稳性条件下,本文给出了该算法的全局收敛与局部渐近超线性收敛结果.同时,我们设计了基于对偶原理的半光滑牛顿法来高效稳定求解邻近点算法所涉及的重要子问题.最后,本文还讨论了如何通过深入挖掘并利用复合凸优化问题中由非光滑正则函数所诱导的非光滑二阶信息来极大减少半光滑牛顿算法中求解牛顿线性系统所需的工作量,从而进一步加速邻近点算法.
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    机器学习原子间相互作用建模
    王涵
    2021, 43 (3): 261-278.   DOI: 10.12286/jssx.j2021-0833
    摘要198)      PDF (705KB)(275)   
    原子间相互作用建模是分子动力学模拟的核心问题之一.基于第一性原理的建模准而不快,经验势模型快而不准,因此人们长期面临精度和效率只得其一的两难困境.基于机器学习的原子间相互作用建模在达到第一性原理精度的同时,计算开销大大降低,因而有希望解决这一两难困境.本文将介绍构造基于机器学习的原子间相互作用模型的一般框架,归纳近年来的主要建模工作,并探讨这些工作的优势和劣势.
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    非正交网格上满足极值原理的扩散格式
    袁光伟
    2021, 43 (1): 1-16.   DOI: 10.12286/jssx.j2020-0673
    摘要119)      PDF (448KB)(258)   
    构造了非正交网格上扩散方程新的非线性单元中心型有限体积格式, 证明了该格式满足离散极值原理, 且在适当条件下具有强制性、以及在离散 H 1范数下解的有界性和一阶收敛性.
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    一类Toeplitz线性代数方程组的预处理GMRES方法
    何颖, 刘皞
    2021, 43 (2): 177-191.   DOI: 10.12286/jssx.j2019-0605
    摘要122)      PDF (514KB)(253)   
    本文研究一类来源于分数阶特征值问题的Toeplitz线性代数方程组的求解.构造Strang循环矩阵作为预处理矩阵来求解该Toeplitz线性代数方程组,分析了预处理后系数矩阵的特征值性质.提出求解该线性代数方程组的预处理广义极小残量法(PGMRES),并给出该算法的计算量.数值算例表明了该方法的有效性.
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    求解带刚性源项标量双曲型守恒律方程的保有界WCNS格式
    唐玲艳, 郭嘉, 宋松和
    2021, 43 (2): 241-252.   DOI: 10.12286/jssx.j2019-0650
    摘要60)      PDF (11376KB)(246)   
    带刚性源项的双曲守恒律方程是很多物理问题,特别是化学反应流的数学模型.本文考虑带刚性源项的标量双曲型守恒律方程,通过时空分离的方式,发展了一类保有界的WCNS格式.对于空间离散,我们将参数化的通量限制器推广到WCNS框架,使得方程对流项离散后满足极值原理.对于时间离散,我们将半离散的WCNS改写成指数形式,采用三阶修正指数型Runge-Kutta格式来控制方程的刚性,保持数值解的界.可以证明,本文格式对带刚性源项的一维标量守恒律方程具有保有界性和弱渐近保持性.数值试验验证了方法的有效性.
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    深度学习中残差网络的随机训练策略
    孙琪, 陶蕴哲, 杜强
    2020, 42 (3): 349-369.   DOI: 10.12286/jssx.2020.3.349
    摘要245)      PDF (1584KB)(492)   
    为了有效提高深度学习模型在实际应用场景中的泛化能力,近年来工业界和学术界对神经网络训练阶段所采用的加噪技巧给予了高度关注.当网络模型架构中的待求参数固定时,修正方程的思想可以被用来刻画随机训练策略下数据特征的传播过程,从而看出在恰当位置添加剪枝层后的残差网络等价于随机微分方程的数值离散格式.建立这两者间的对应关系使得我们可以将残差网络的随机训练过程与求解倒向柯尔莫哥洛夫方程的最优控制问题联系起来.该发现不仅使得人们可以从微分方程及其最优控制的角度来研究加噪技巧所带来的正则化效应,同时也为构建可解释性强且有效的随机训练方法提供了科学依据.本文也以二分类问题作为简例来对上述观点做进一步的阐述和说明.
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    稳态Poisson-Nernst-Planck方程的残量型后验误差估计
    房明娟, 阳莺, 唐鸣
    2021, 43 (1): 17-32.   DOI: 10.12286/jssx.j2019-0573
    摘要80)      PDF (1517KB)(220)   
    针对稳态的Poisson-Nernst-Planck方程研究了一种残量型的后验误差估计子, 对方程的两个解-浓度和电势, 都分别给出了上界和下界估计. 数值实验表明, 基于这种后验误差估计子构造的自适应有限元算法对于稳态的Poisson-Nernst-Planck方程是有效的.
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    非线性随机分数阶微分方程Euler方法的弱收敛性
    朱梦姣, 王文强
    2021, 43 (1): 87-109.   DOI: 10.12286/jssx.j2019-0587
    摘要67)      PDF (533KB)(187)   
    论文首先证明了非线性随机分数阶微分方程解的存在唯一性, 然后构造了数值求解该方程的Euler 方法, 并证明了当方程满足一定约束条件时, 该方法是弱收敛的. 特别地, 当分数阶 α=0时, 该方程退化为非线性随机微分方程, 所获结论与现有文献中的相关结论是一致的; 当 α ≠ 0, 且初值条件为齐次时, 所获结论可视为现有文献中线性随机分数阶微分方程情形的推广和改进. 随后, 文末的数值试验验证了所获理论结果的正确性.
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    求解一类非线性互补问题的松弛two-sweep模系矩阵分裂迭代法
    丁戬, 殷俊锋
    2021, 43 (1): 118-132.   DOI: 10.12286/jssx.j2020-0660
    摘要95)      PDF (428KB)(169)   
    本文构造了求解一类非线性互补问题的松弛two-sweep模系矩阵分裂迭代法. 理论分析建立了新方法在系数矩阵为正定矩阵或 H +矩阵时的收敛性质.数值实验结果表明新方法是行之有效的, 并且在最优参数下松弛two-sweep模系矩阵分裂迭代法在迭代步数和时间上均优于传统的模系矩阵分裂迭代法和two-sweep模系矩阵分裂迭代法.
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    电子结构计算的数值方法与理论
    戴小英
    2020, 42 (2): 131-158.   DOI: 10.12286/jssx.2020.2.131
    摘要667)      PDF (690KB)(559)   
    第一原理电子结构计算已成为探索与研究物质机理、理解与预测材料性质的重要手段和工具.虽然第一原理电子结构计算取得了巨大的成功,但是如何利用高性能计算机又快又好地计算大规模体系,如何从数学角度理解电子结构模型的合理性与计算的可靠性和有效性,依然充满各种挑战.基于密度泛函理论的第一原理电子结构计算的核心数学模型为Kohn-Sham方程或相应的Kohn-Sham能量泛函极小问题.近年来,人们分别从非线性算子特征值问题的高效离散及Kohn-Sham能量泛函极小问题的最优化方法设计两个方面对电子结构计算的高效算法设计及分析展开了诸多研究.本文重点介绍我们小组在电子结构计算的方法与理论方面的一些进展,同时简单介绍该领域存在的困难与挑战.
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    基于辛格式的深度哈密尔顿神经网络
    祝爱卿, 金鹏展, 唐贻发
    2020, 42 (3): 370-384.   DOI: 10.12286/jssx.2020.3.370
    摘要206)      PDF (2717KB)(391)   
    HNN是一类基于物理先验学习哈密尔顿系统的神经网络.本文通过误差分析解释使用不同积分器作为超参数对HNN的影响.如果我们把网络目标定义为在任意训练集上损失为零的映射,那么传统的积分器无法保证HNN存在网络目标.我们引进反修正方程,并严格证明基于辛格式的HNN具有网络目标,且它与原哈密尔顿量之差依赖于数值格式的精度.数值实验表明,由辛HNN得到的哈密尔顿系统的相流不能精确保持原哈密尔顿量,但保持网络目标;网络目标在训练集、测试集上的损失远小于原哈密尔顿量的损失;在预测问题上辛HNN较非辛HNN具备更强大的泛化能力和更高的精度.因此,辛格式对于HNN是至关重要的.
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    求解一类分块二阶线性方程组的QHSS迭代方法
    李天怡, 陈芳
    2021, 43 (1): 110-117.   DOI: 10.12286/jssx.j2020-0657
    摘要89)      PDF (299KB)(133)   
    本文将QHSS迭代方法运用于求解一类分块二阶线性方程组. 通过适当地放宽QHSS迭代方法的收敛性条件,我们给出了用QHSS迭代方法求解一类分块二阶线性方程组的具体迭代格式,并证明了当系数矩阵中的(1,1)块对称半正定时该QHSS迭代方法的收敛性.我们还用数值实验验证了QHSS迭代方法的可行性和有效性.
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    凸约束伪单调方程组的无导数投影算法
    刘金魁, 孙悦, 赵永祥
    2021, 43 (3): 388-400.   DOI: 10.12286/jssx.j2020-0659
    摘要50)      PDF (444KB)(125)   
    基于HS共轭梯度法的结构,本文在弱假设条件下建立了一种求解凸约束伪单调方程组问题的迭代投影算法.该算法不需要利用方程组的任何梯度或Jacobian矩阵信息,因此它适合求解大规模问题.算法在每一次迭代中都能产生充分下降方向,且不依赖于任何线搜索条件.特别是,我们在不需要假设方程组满足Lipschitz条件下建立了算法的全局收敛性和R-线收敛速度.数值结果表明,该算法对于给定的大规模方程组问题是稳定和有效的.
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    运用Poincaré-Miranda定理数值验证变分不等式解的存在性
    江正华, 牛欣, 朱楚
    2021, 43 (1): 56-69.   DOI: 10.12286/jssx.j2019-0582
    摘要49)      PDF (355KB)(122)   
    本文运用Poincaré-Miranda定理数值验证变分不等式问题解的存在性. 证明这一新方法相对于已有的方法更具有普遍性, 并通过数值例子说明本方法的高效性.
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    求解带有非线性边界条件的涡流方程的 A- φ解耦有限元格式
    王然, 张怀, 康彤
    2021, 43 (1): 33-55.   DOI: 10.12286/jssx.j2019-0580
    摘要50)      PDF (915KB)(116)   
    本文研究边界条件符合幂指数型非线性关系 H × n = n × (| E × n| α-1 E × n)(0 < α ≤ 1)的涡流方程.使用 A- φ耦合有限元格式数值求解这类问题具有较高精度,但计算开销大. A- φ解耦有限元计算格式能够在每个时间步上分别求解矢量 A和标量 φ,以此降低计算规模,提高计算效率.我们证明了解耦格式中解的存在唯一性,并且给出了它的误差估计.最后给出的数值实验证明了本文所提供的解耦算法是稳定和有效的.
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    图像反问题中的数学与深度学习方法
    董彬
    2019, 41 (4): 343-366.   DOI: 10.12286/jssx.2019.4.343
    摘要1780)      PDF (695KB)(1286)   
    我们生活在数字的时代,数据已经成为了我们生活中不可或缺的一部分,而图像无疑是最重要的数据类型之一.图像反问题,包括图像降噪,去模糊,修复,生物医学成像等,是图像科学中的重要领域.计算机技术的飞速发展使得我们可以用精细的数学和机器学习工具来为图像反问题设计有效的解决方案.本文主要回顾图像反问题中的三大类方法,即以小波(框架)为代表的计算调和分析法、偏微分方程(PDE)方法和深度学习方法.我们将回顾这些方法的建模思想和一些具体数学形式,探讨它们之间的联系与区别,优点与缺点,探讨将这些方法有机融合的可行性与优势.
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    多元统计分析中一类矩阵迹函数最小化问题的有效算法
    李姣芬, 秦树娟, 张丽, 候文婷
    2021, 43 (1): 70-86.   DOI: 10.12286/jssx.j2019-0583
    摘要92)      PDF (853KB)(104)   
    研究来源于多元统计分析中的一类矩阵迹函数最小化问题$$\min c+ tr(AX)+\sum\limits_{j=1}^{m}tr(B_j X C_jX^{T}),\ \ {\rm s. t.} \ X^TX=I_p,$$其中$c$为常数, $A\in R^{p\times n}\ (n\geq p)$, $B_j\in R^{n\times n}, C_j\in R^{p\times p}$为给定系数矩阵. 数值实验表明已有的Majorization算法虽可行, 但收敛速度缓慢且精度不高. 本文从黎曼流形的角度重新研究该问题, 基于Stiefel流形的几何性质, 构造一类黎曼非单调共轭梯度迭代求解算法, 并给出算法收敛性分析.数值实验和数值比较验证所提出的算法对于问题模型是高效可行的.
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    随机平面线弹性问题的一类弱Galerkin方法
    陈明卿, 谢小平
    2021, 43 (3): 279-300.   DOI: 10.12286/jssx.j2019-0652
    摘要82)      PDF (603KB)(102)   
    本文针对带有随机杨氏模量和荷载的平面线弹性问题,提出了一类随机弱Galerkin有限元方法.先利用Karhunen-Loève展开把随机项参数化,将方程转化为一个确定性问题;再采用弱Galerkin有限元法和$k$-/$p$-型方法分别离散空间区域和随机场.在弱Galerkin离散中,用分片$s(s\geqslant 1$)和$s+1$次多项式逼近单元内部的应力和位移,用分片$s$次多项式逼近位移在单元边界上的迹.证明了该方法关于空间网格尺度最优且与Lamé常数$\lambda$一致无关的误差估计.最后通过数值算例验证了理论结果.
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    弱有限元方法在线弹性问题中的应用
    张然
    2020, 42 (1): 1-17.   DOI: 10.12286/jssx.2020.1.1
    摘要589)      PDF (482KB)(604)   
    本文考虑弱有限元(简称WG)方法在线弹性问题中的应用.WG方法是传统有限元方法的推广,用于偏微分方程的数值求解.和传统有限元一样,它的基本思想源于变分原理.WG方法的特点是使用在剖分单元内部和剖分单元边界上分别有定义的分片多项式函数(即弱函数)作为近似函数来逼近真解,并针对弱函数定义相应的弱微分算子代入数值格式进行计算.除此之外,WG方法允许在数值格式中引进稳定子以实现近似函数的弱连续性.WG方法具有允许使用任意多边形或多面体剖分,数值格式与逼近函数构造简单,易于满足相应的稳定性条件等优点.本文考虑WG方法在求解线弹性问题中的应用.围绕线弹性问题数值求解中常见的三个问题,即:数值格式的强制性,闭锁性,应力张量的对称性介绍WG方法在线弹性问题求解中的应用.
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