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    机器学习原子间相互作用建模
    王涵
    2021, 43 (3): 261-278.   DOI: 10.12286/jssx.j2021-0833
    摘要198)      PDF (705KB)(275)   
    原子间相互作用建模是分子动力学模拟的核心问题之一.基于第一性原理的建模准而不快,经验势模型快而不准,因此人们长期面临精度和效率只得其一的两难困境.基于机器学习的原子间相互作用建模在达到第一性原理精度的同时,计算开销大大降低,因而有希望解决这一两难困境.本文将介绍构造基于机器学习的原子间相互作用模型的一般框架,归纳近年来的主要建模工作,并探讨这些工作的优势和劣势.
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    计算神经科学
    周栋焯
    2021, 43 (2): 133-161.   DOI: 10.12286/jssx.j2021-0772
    摘要417)      PDF (1540KB)(380)   
    计算神经科学是近三十年来出现的一个新兴交叉学科,它强调采用数学定量的方法,如数学建模、理论分析和数值模拟等来研究和解决神经科学中的重要科学问题,一方面神经科学实验现象为发展新的数学模型、理论和算法提供了基础,另一方面通过数学定量,能反过来揭示神经科学实验现象背后的数理机制,发现新的科学规律.随着欧盟、美国、日本和我国脑计划的陆续推出,对大脑的探索已成为重要的前沿科学领域,同时随着数据科学、机器学习等领域的兴起,研究如何借鉴大脑的工作原理来实现类脑计算以及人工智能也成为了世界大国科技竞争的战略制高点.鉴于此,计算神经科学作为连接大脑神经科学与类脑人工智能两大研究领域的桥梁,在前沿科学领域和国家战略需求中的地位变得越来越重要.计算神经科学研究领域的发展,对于推动神经科学与数学、物理、统计、计算机、人工智能等其他自然科学学科及工程应用学科之间的共进发展,以及综合利用不同学科的优势互补来取得从零到一的重要科学突破有着重大意义.
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    随机平面线弹性问题的一类弱Galerkin方法
    陈明卿, 谢小平
    2021, 43 (3): 279-300.   DOI: 10.12286/jssx.j2019-0652
    摘要82)      PDF (603KB)(102)   
    本文针对带有随机杨氏模量和荷载的平面线弹性问题,提出了一类随机弱Galerkin有限元方法.先利用Karhunen-Loève展开把随机项参数化,将方程转化为一个确定性问题;再采用弱Galerkin有限元法和$k$-/$p$-型方法分别离散空间区域和随机场.在弱Galerkin离散中,用分片$s(s\geqslant 1$)和$s+1$次多项式逼近单元内部的应力和位移,用分片$s$次多项式逼近位移在单元边界上的迹.证明了该方法关于空间网格尺度最优且与Lamé常数$\lambda$一致无关的误差估计.最后通过数值算例验证了理论结果.
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    一种求解非线性互补问题的多步自适应Levenberg-Marquardt算法
    胡雅伶, 彭拯, 章旭, 曾玉华
    2021, 43 (3): 322-336.   DOI: 10.12286/jssx.j2019-0615
    摘要55)      PDF (471KB)(89)   
    本文采用Modulus-based变换将非线性互补问题转化为非光滑方程组,并将一种多步自适应Levenberg-Marquardt方法推广应用于求解所得的非光滑方程组,从而得到原问题的解.在适当条件下,本文证明了算法的全局收敛性.与一种已有的参数自适应Levenberg-Marquardt方法(PSA-LMM)相比较,数值实验结果表明了本文所提出的算法具有更好的效率.
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    复合凸优化的快速邻近点算法
    郦旭东
    2020, 42 (4): 385-404.   DOI: 10.12286/jssx.2020.4.385
    摘要579)      PDF (598KB)(597)   
    在大数据时代,随着数据采集手段的不断提升,大规模复合凸优化问题大量的出现在包括统计数据分析,机器与统计学习以及信号与图像处理等应用中.本文针对大规模复合凸优化问题介绍了一类快速邻近点算法.在易计算的近似准则和较弱的平稳性条件下,本文给出了该算法的全局收敛与局部渐近超线性收敛结果.同时,我们设计了基于对偶原理的半光滑牛顿法来高效稳定求解邻近点算法所涉及的重要子问题.最后,本文还讨论了如何通过深入挖掘并利用复合凸优化问题中由非光滑正则函数所诱导的非光滑二阶信息来极大减少半光滑牛顿算法中求解牛顿线性系统所需的工作量,从而进一步加速邻近点算法.
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    凸约束伪单调方程组的无导数投影算法
    刘金魁, 孙悦, 赵永祥
    2021, 43 (3): 388-400.   DOI: 10.12286/jssx.j2020-0659
    摘要50)      PDF (444KB)(125)   
    基于HS共轭梯度法的结构,本文在弱假设条件下建立了一种求解凸约束伪单调方程组问题的迭代投影算法.该算法不需要利用方程组的任何梯度或Jacobian矩阵信息,因此它适合求解大规模问题.算法在每一次迭代中都能产生充分下降方向,且不依赖于任何线搜索条件.特别是,我们在不需要假设方程组满足Lipschitz条件下建立了算法的全局收敛性和R-线收敛速度.数值结果表明,该算法对于给定的大规模方程组问题是稳定和有效的.
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    改进的分块模方法求解对角占优线性互补问题
    张丽丽, 任志茹
    2021, 43 (3): 401-412.   DOI: 10.12286/jssx.j2021-0774
    摘要55)      PDF (449KB)(85)   
    为了高效求解中小型线性互补问题,本文提出了改进的分块模方法,并证明了关于严格对角占优(对角元素均为正数)线性互补问题的收敛性.对于广义对角占优线性互补问题,先将其转化为严格对角占优线性互补问题,再采用改进的分块模方法求解.数值结果表明,改进的分块模方法在求解广义对角占优线性互补问题时在内迭代次数和计算时间上均明显优于分块模方法.
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    连续Sylvester方程的广义正定和反Hermitian分裂迭代法及其超松弛加速
    李旭, 李明翔
    2021, 43 (3): 354-366.   DOI: 10.12286/jssx.j2019-0630
    摘要46)      PDF (430KB)(81)   
    对于求解大型稀疏连续Sylvester方程,Bai提出了非常有效的Hermitian和反Hermitian分裂(HSS)迭代法.为了进一步提高求解这类方程的效率,本文建立一种广义正定和反Hermitian分裂(GPSS)迭代法,并且提出不精确GPSS(IGPSS)迭代法从而可以降低计算成本.对GPSS迭代法及其不精确变体的收敛性作了详细分析.另外,建立一种超松弛加速GPSS(AGPSS)方法并且讨论了收敛性.数值结果表明了方法的高效性和鲁棒性.
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    弱有限元方法简论
    王军平, 叶秀, 张然
    2016, 38 (3): 289-308.   DOI: 10.12286/jssx.2016.3.289
    摘要1567)      PDF (514KB)(1041)   
    本文简述弱有限元方法(weak Galerkin finite element methods)的数学基本原理和计算机实现.弱有限元方法对间断函数引入广义弱微分,并将其应用于偏微分方程相应的变分形式进行数值求解,而数值解的弱连续性则通过稳定子或光滑子来实现.弱有限元方法针对广义函数而构建,是经典有限元方法的一种自然拓广,且能够弥补经典有限元方法的某些缺憾,也因此在科学与工程计算领域具有广泛的应用前景.
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    凸约束非光滑方程组一个新的谱梯度投影算法
    尹江华, 简金宝, 江羡珍
    2020, 42 (4): 457-471.   DOI: 10.12286/jssx.2020.4.457
    摘要113)      PDF (722KB)(181)   
    基于寻找分离超平面的三种经典线搜索技术,本文提出了一种自适应线搜索技术.结合谱梯度投影法,提出了凸约束非光滑单调方程组的一个谱梯度投影算法.该算法不需要计算和存储任何矩阵,因而适合求解大规模非光滑的非线性单调方程组.在较弱的条件下,证明了方法的全局收敛性,并分析了算法的收敛率.数值试验结果表明算法是有效的和鲁棒的.
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    状态转换下欧式Merton跳扩散期权定价的拟合有限体积方法
    甘小艇
    2021, 43 (3): 337-353.   DOI: 10.12286/jssx.j2019-0617
    摘要23)      PDF (716KB)(68)   
    本文主要研究状态转换下欧式Merton跳扩散期权定价模型的拟合有限体积方法.针对该定价模型中的偏积分-微分方程,空间方向采用拟合有限体积方法离散,时间方向构造Crank-Nicolson格式.理论证明了数值格式的一致性、稳定性和单调性,因此收敛至原连续问题的解.数值实验验证了新方法的稳健性,有效性和收敛性.
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    抛物型方程一个新的非协调混合元超收敛性分析及外推
    石东洋, 张亚东
    2013, 35 (4): 337-352.   DOI: 10.12286/jssx.2013.4.337
    摘要1294)      PDF (604KB)(1209)   
    本文研究了抛物型方程在新混合元格式下的非协调混合有限元方法. 在抛弃传统有限元分析的必要工具-Ritz 投影算子的前提下,直接利用单元的插值性质,运用高精度分析和对时间 t的导数转移技巧,借助于插值后处理技术,分别导出了关于原始变量 uH 1-模和通量 p=▽ uL 2-模下的 Oh 2)阶超逼近性质和整体超收敛. 进一步,通过构造合适的辅助问题,运用Richardson 外推格式,得到了具有更高精度 Oh 3)阶的外推结果. 最后,给出了一些数值结果验证了理论分析的正确性.
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    被引次数: Baidu(42) CSCD(8)
    关于热传导-对流问题的有限元方法分析
    沈树民
    1994, 16 (2): 170-182.   DOI: 10.12286/jssx.1994.2.170
    摘要1084)      PDF (414KB)(816)   
    关于热传导-对流问题的有限元方法分析沈树民(苏州大学)THEFINITEELEMENTANALYSESFORTHECONDUCTION-CONVECTIONPROBLEMS¥ShenShu-min(SuzhouUniversity)Abstract:...
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    被引次数: CSCD(4)
    求解一类非线性互补问题的松弛two-sweep模系矩阵分裂迭代法
    丁戬, 殷俊锋
    2021, 43 (1): 118-132.   DOI: 10.12286/jssx.j2020-0660
    摘要95)      PDF (428KB)(169)   
    本文构造了求解一类非线性互补问题的松弛two-sweep模系矩阵分裂迭代法. 理论分析建立了新方法在系数矩阵为正定矩阵或 H +矩阵时的收敛性质.数值实验结果表明新方法是行之有效的, 并且在最优参数下松弛two-sweep模系矩阵分裂迭代法在迭代步数和时间上均优于传统的模系矩阵分裂迭代法和two-sweep模系矩阵分裂迭代法.
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    运用Poincaré-Miranda定理数值验证变分不等式解的存在性
    江正华, 牛欣, 朱楚
    2021, 43 (1): 56-69.   DOI: 10.12286/jssx.j2019-0582
    摘要49)      PDF (355KB)(122)   
    本文运用Poincaré-Miranda定理数值验证变分不等式问题解的存在性. 证明这一新方法相对于已有的方法更具有普遍性, 并通过数值例子说明本方法的高效性.
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    一类Toeplitz线性代数方程组的预处理GMRES方法
    何颖, 刘皞
    2021, 43 (2): 177-191.   DOI: 10.12286/jssx.j2019-0605
    摘要122)      PDF (514KB)(253)   
    本文研究一类来源于分数阶特征值问题的Toeplitz线性代数方程组的求解.构造Strang循环矩阵作为预处理矩阵来求解该Toeplitz线性代数方程组,分析了预处理后系数矩阵的特征值性质.提出求解该线性代数方程组的预处理广义极小残量法(PGMRES),并给出该算法的计算量.数值算例表明了该方法的有效性.
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    图像反问题中的数学与深度学习方法
    董彬
    2019, 41 (4): 343-366.   DOI: 10.12286/jssx.2019.4.343
    摘要1780)      PDF (695KB)(1286)   
    我们生活在数字的时代,数据已经成为了我们生活中不可或缺的一部分,而图像无疑是最重要的数据类型之一.图像反问题,包括图像降噪,去模糊,修复,生物医学成像等,是图像科学中的重要领域.计算机技术的飞速发展使得我们可以用精细的数学和机器学习工具来为图像反问题设计有效的解决方案.本文主要回顾图像反问题中的三大类方法,即以小波(框架)为代表的计算调和分析法、偏微分方程(PDE)方法和深度学习方法.我们将回顾这些方法的建模思想和一些具体数学形式,探讨它们之间的联系与区别,优点与缺点,探讨将这些方法有机融合的可行性与优势.
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    约束全局最优化的水平值估计算法
    彭拯,邬冬华,田蔚文,
    2007, 29 (3): 293-304.   DOI: 10.12286/jssx.2007.3.293
    摘要1551)      PDF (353KB)(670)   
    本文针对约束全局最优化问题,定义并研究了约束水平集上的方差函数,利用牛顿切线法求解方差方程的最大根构造出一种全局优化的水平值估计算法,并基于数论中一致分布佳点集求数值积分的方法建立了它的实现算法,验证了实现算法满足不精确牛顿算法的收敛性条件,从而证明了实现算法的收敛性.初步的数值实验说明了算法的有效性.
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    被引次数: Baidu(33) CSCD(2)
    求解带有非线性边界条件的涡流方程的 A- φ解耦有限元格式
    王然, 张怀, 康彤
    2021, 43 (1): 33-55.   DOI: 10.12286/jssx.j2019-0580
    摘要50)      PDF (915KB)(116)   
    本文研究边界条件符合幂指数型非线性关系 H × n = n × (| E × n| α-1 E × n)(0 < α ≤ 1)的涡流方程.使用 A- φ耦合有限元格式数值求解这类问题具有较高精度,但计算开销大. A- φ解耦有限元计算格式能够在每个时间步上分别求解矢量 A和标量 φ,以此降低计算规模,提高计算效率.我们证明了解耦格式中解的存在唯一性,并且给出了它的误差估计.最后给出的数值实验证明了本文所提供的解耦算法是稳定和有效的.
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    随机变延迟微分方程平衡方法的均方收敛性与稳定性
    包学忠, 胡琳
    2021, 43 (3): 301-321.   DOI: 10.12286/jssx.j2019-0610
    摘要42)      PDF (704KB)(58)   
    针对一类变延迟微分方程,应用全隐式方法—平衡方法,研究了其收敛性和稳定性.结果表明平衡方法以$\frac{1}{2}\gamma,\gamma\in(0,1]$阶收敛到精确解;并且强平衡方法和弱平衡方法都能保持解析解的均方稳定性;进一步数值实验验证了算法理论分析的正确性,并且表明全隐式的平衡方法比显式方法—Euler方法具有更好的稳定性.
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