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    复合凸优化的快速邻近点算法
    郦旭东
    2020, 42 (4): 385-404.   DOI: 10.12286/jssx.2020.4.385
    摘要507)      PDF (598KB)(546)   
    在大数据时代,随着数据采集手段的不断提升,大规模复合凸优化问题大量的出现在包括统计数据分析,机器与统计学习以及信号与图像处理等应用中.本文针对大规模复合凸优化问题介绍了一类快速邻近点算法.在易计算的近似准则和较弱的平稳性条件下,本文给出了该算法的全局收敛与局部渐近超线性收敛结果.同时,我们设计了基于对偶原理的半光滑牛顿法来高效稳定求解邻近点算法所涉及的重要子问题.最后,本文还讨论了如何通过深入挖掘并利用复合凸优化问题中由非光滑正则函数所诱导的非光滑二阶信息来极大减少半光滑牛顿算法中求解牛顿线性系统所需的工作量,从而进一步加速邻近点算法.
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    计算神经科学
    周栋焯
    2021, 43 (2): 133-161.   DOI: 10.12286/jssx.j2021-0772
    摘要243)      PDF (1540KB)(289)   
    计算神经科学是近三十年来出现的一个新兴交叉学科,它强调采用数学定量的方法,如数学建模、理论分析和数值模拟等来研究和解决神经科学中的重要科学问题,一方面神经科学实验现象为发展新的数学模型、理论和算法提供了基础,另一方面通过数学定量,能反过来揭示神经科学实验现象背后的数理机制,发现新的科学规律.随着欧盟、美国、日本和我国脑计划的陆续推出,对大脑的探索已成为重要的前沿科学领域,同时随着数据科学、机器学习等领域的兴起,研究如何借鉴大脑的工作原理来实现类脑计算以及人工智能也成为了世界大国科技竞争的战略制高点.鉴于此,计算神经科学作为连接大脑神经科学与类脑人工智能两大研究领域的桥梁,在前沿科学领域和国家战略需求中的地位变得越来越重要.计算神经科学研究领域的发展,对于推动神经科学与数学、物理、统计、计算机、人工智能等其他自然科学学科及工程应用学科之间的共进发展,以及综合利用不同学科的优势互补来取得从零到一的重要科学突破有着重大意义.
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    深度学习中残差网络的随机训练策略
    孙琪, 陶蕴哲, 杜强
    2020, 42 (3): 349-369.   DOI: 10.12286/jssx.2020.3.349
    摘要203)      PDF (1584KB)(476)   
    为了有效提高深度学习模型在实际应用场景中的泛化能力,近年来工业界和学术界对神经网络训练阶段所采用的加噪技巧给予了高度关注.当网络模型架构中的待求参数固定时,修正方程的思想可以被用来刻画随机训练策略下数据特征的传播过程,从而看出在恰当位置添加剪枝层后的残差网络等价于随机微分方程的数值离散格式.建立这两者间的对应关系使得我们可以将残差网络的随机训练过程与求解倒向柯尔莫哥洛夫方程的最优控制问题联系起来.该发现不仅使得人们可以从微分方程及其最优控制的角度来研究加噪技巧所带来的正则化效应,同时也为构建可解释性强且有效的随机训练方法提供了科学依据.本文也以二分类问题作为简例来对上述观点做进一步的阐述和说明.
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    基于辛格式的深度哈密尔顿神经网络
    祝爱卿, 金鹏展, 唐贻发
    2020, 42 (3): 370-384.   DOI: 10.12286/jssx.2020.3.370
    摘要177)      PDF (2717KB)(375)   
    HNN是一类基于物理先验学习哈密尔顿系统的神经网络.本文通过误差分析解释使用不同积分器作为超参数对HNN的影响.如果我们把网络目标定义为在任意训练集上损失为零的映射,那么传统的积分器无法保证HNN存在网络目标.我们引进反修正方程,并严格证明基于辛格式的HNN具有网络目标,且它与原哈密尔顿量之差依赖于数值格式的精度.数值实验表明,由辛HNN得到的哈密尔顿系统的相流不能精确保持原哈密尔顿量,但保持网络目标;网络目标在训练集、测试集上的损失远小于原哈密尔顿量的损失;在预测问题上辛HNN较非辛HNN具备更强大的泛化能力和更高的精度.因此,辛格式对于HNN是至关重要的.
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    可压缩流体力学高精度拉格朗日格式及其保正性质
    成娟, 舒其望
    2020, 42 (3): 261-278.   DOI: 10.12286/jssx.2020.3.261
    摘要163)      PDF (496KB)(273)   
    本文对可压缩流体力学高精度拉格朗日格式及其保正性质近年来的发展给出回顾与综述.文中分别介绍了一维、二维可压缩流体力学方程中心型拉格朗日格式的设计步骤,回顾了高精度拉格朗日格式以及高精度保正拉格朗日格式的研究进展.
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    中国计算数学奠基人冯康
    2020, 42 (3): 258-259.   DOI: 10.12286/jssx.2020.3.258
    摘要152)      PDF (9198KB)(458)   
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    边界元方法的一些研究进展
    刘阳, 李金, 胡齐芽, 贾祖朋, 余德浩
    2020, 42 (3): 310-348.   DOI: 10.12286/jssx.2020.3.310
    摘要150)      PDF (833KB)(277)   
    本文旨在综述我们小组近二十年来在边界元方法这一领域的一些研究成果,在简要介绍边界元方法的基本思想后,主要介绍了一类非线性界面问题的有限元-边界元耦合方法、求解电磁散射问题的有限元-边界元耦合方法和超奇异积分的一类计算方法.
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    关于辛算法稳定性的若干注记
    尚在久, 宋丽娜
    2020, 42 (4): 405-418.   DOI: 10.12286/jssx.2020.4.405
    摘要148)      PDF (539KB)(161)   
    我们讨论辛算法的线性稳定性和非线性稳定性,从动力系统和计算的角度论述了研究辛算法的这两类稳定性问题的重要性,分析总结了相关重要结果.我们给出了解析方法的明确定义,证明了稳定函数是亚纯函数的解析辛方法是绝对线性稳定的.绝对线性稳定的辛方法既有解析方法(如Runge-Kutta辛方法),也有非解析方法(如基于常数变易公式对线性部分进行指数积分而对非线性部分使用其它数值积分的方法).我们特别回顾并讨论了R.I.McLachlan,S.K.Gray和S.Blanes,F.Casas,A.Murua等关于分裂算法的线性稳定性结果,如通过选取适当的稳定多项式函数构造具有最优线性稳定性的任意高阶分裂辛算法和高效共轭校正辛算法,这类经优化后的方法应用于诸如高振荡系统和波动方程等线性方程或者线性主导的弱非线性方程具有良好的数值稳定性.我们通过分析辛算法在保持椭圆平衡点的稳定性,能量面的指数长时间慢扩散和KAM不变环面的保持等三个方面阐述了辛算法的非线性稳定性,总结了相关已有结果.最后在向后误差分析基础上,基于一个自由度的非线性振子和同宿轨分析法讨论了辛算法的非线性稳定性,提出了一个新的非线性稳定性概念,目的是为辛算法提供一个实际可用的非线性稳定性判别法.
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    关于最小二乘QR分解算法(LSQR)的一个注记
    何鹏辉, 李厚彪
    2020, 42 (4): 487-496.   DOI: 10.12286/jssx.2020.4.487
    摘要134)      PDF (314KB)(146)   
    本文从最小多项式出发,通过寻找包含奇异线性系统 Ax= b最小范数解的一个解空间,获得了一个更简单的求解广义逆的计算公式.并从理论上对最小二乘QR分解算法(LSQR)收敛性进行了简单分析,分析表明LSQR的收敛性与矩阵 A的非零奇异值密切相关,并用 A的非零奇异值以及所寻找到的最小范数解空间将最小范数解线性表出.
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    基于分子动力学模拟的金属构件的弹-塑性分解方法
    崔俊芝, 余翌帆
    2020, 42 (3): 279-297.   DOI: 10.12286/jssx.2020.3.279
    摘要114)      PDF (864KB)(176)   
    针对金属多晶材料构件的分子动力学(MD)模拟,本文提出了一种新的弹-塑性分解方法.文章将MD运动轨迹分解为结构变形和热振动,给出了计算结构变形的方法和近似公式;针对金属多晶材料构件的当前构型,给出了基于FCC|BCC晶胞和四原子占位的四面体单元相组合的连续变形函数及计算变形梯度的算法;利用原子-连续关联模型,发展了计算当前构型应力场和弹性张量的算法.分析了当构件承受过大载荷后在材料内部所产生的微观缺陷,并将其分类标定为位错、层错、挛晶界、晶界和空位等;对于层错和挛晶界讨论了在弹性卸载过程中应满足的刚体运动约束方程;利用极小势能原理构造了基于当前构型的弹性卸载算法,进而给出了完整的基于MD模拟的计算弹-塑性应变的算法.最后,针对单晶铜纳米线拉伸的MD模拟,计算了弹-塑性应变场,验证了本文方法的合理性.
    本文提出的基于MD模拟的弹-塑性分解方法,为从微观到宏观的多尺度和多模型耦合计算提供了算法支撑.
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    无单调性集值变分不等式的一种投影算法
    陈园
    2020, 42 (4): 435-444.   DOI: 10.12286/jssx.2020.4.435
    摘要111)      PDF (305KB)(115)   
    本文给出了求解无单调性集值变分不等式的一个新的投影算法,该算法所产生的迭代序列在Minty变分不等式解集非空且映射满足一定的连续性条件下收敛到解.对比文献[10]中的算法,本文中的算法使用了不同的线性搜索和半空间,在计算本文所引的两个数值例子时,该算法比文献[10]中的算法所需迭代步更少.
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    非正交网格上满足极值原理的扩散格式
    袁光伟
    2021, 43 (1): 1-16.   DOI: 10.12286/jssx.j2020-0673
    摘要109)      PDF (448KB)(240)   
    构造了非正交网格上扩散方程新的非线性单元中心型有限体积格式, 证明了该格式满足离散极值原理, 且在适当条件下具有强制性、以及在离散 H 1范数下解的有界性和一阶收敛性.
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    四元数矩阵方程 AXB+ CXD= E的广义延拓解
    蓝家新, 黄敬频, 毛利影, 王敏
    2020, 42 (4): 497-507.   DOI: 10.12286/jssx.2020.4.497
    摘要102)      PDF (327KB)(128)   
    本文在四元数体上讨论矩阵方程 AXB+ CXD= E的广义行(列)共轭延拓解问题.利用四元数矩阵的复与实分解,以及广义共轭延拓矩阵的结构特点,借助矩阵Kronecker积,把约束四元数矩阵方程转化为实数域上无约束方程,从而得到该方程具有广义行(列)共轭延拓解的充要条件及其通解表达式.最后通过数值算例说明所给算法的可行性.
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    一种抽象的稳定化方法及在非线性不可压缩弹性问题上的应用
    洪庆国, 刘春梅, 许进超
    2020, 42 (3): 298-309.   DOI: 10.12286/jssx.2020.3.298
    摘要101)      PDF (418KB)(214)   
    针对非线性不可压缩弹性力学问题,本文提出了一种抽象的稳定化方法并将其应用于非线性不可压缩弹性问题上.在该框架中,我们证明了只要连续的混合问题是稳定的,则可以修正任何满足离散inf-sup条件的混合有限元方法使其是稳定的且最优收敛的.我们将这种抽象的稳定化理论框架应用于非线性不可压缩弹性力学问题,给出了稳定性和收敛性理论结论,并通过数值实验验证了该结论.
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    非线性第二类Volterra积分方程的Chebyshev谱配置法
    古振东, 孙丽英
    2020, 42 (4): 445-456.   DOI: 10.12286/jssx.2020.4.445
    摘要100)      PDF (334KB)(147)   
    我们在参考了相关文献的基础上,考察了一类非线性Volterra积分方程的Chebyshev谱配置法.方法中,我们将该类非线性方程转化为两个方程进行数值逼近.我们选择 N阶Chebyshev Gauss-Lobatto点作为配置点,对积分项用 N阶高斯数值积分公式逼近.收敛性分析结果表明数值误差的收敛阶为 N (1/2)-m,其中 m是已知函数最高连续导数的阶数.我们也开展数值实验证实这一理论分析结果.
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    前言
    2020, 42 (3): 260-260.   DOI: 10.12286/jssx.2020.3.260
    摘要97)      PDF (108KB)(162)   
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    凸约束非光滑方程组一个新的谱梯度投影算法
    尹江华, 简金宝, 江羡珍
    2020, 42 (4): 457-471.   DOI: 10.12286/jssx.2020.4.457
    摘要94)      PDF (722KB)(150)   
    基于寻找分离超平面的三种经典线搜索技术,本文提出了一种自适应线搜索技术.结合谱梯度投影法,提出了凸约束非光滑单调方程组的一个谱梯度投影算法.该算法不需要计算和存储任何矩阵,因而适合求解大规模非光滑的非线性单调方程组.在较弱的条件下,证明了方法的全局收敛性,并分析了算法的收敛率.数值试验结果表明算法是有效的和鲁棒的.
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    中立型比例延迟微分系统线性 θ-方法的渐近估计
    张根根, 肖爱国, 王晚生
    2020, 42 (4): 419-434.   DOI: 10.12286/jssx.2020.4.419
    摘要92)      PDF (389KB)(125)   
    本文研究了一类线性非自治中立型比例延迟微分系统线性 θ-方法的渐近稳定性,并借助于泛函不等式得到了数值解的渐近估计.此渐近估计不仅比数值渐近稳定性描述得更加精确,而且还能给出非稳定情形数值解的上界估计式.数值算例验证了相关理论结果.
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    求解一类非线性互补问题的松弛two-sweep模系矩阵分裂迭代法
    丁戬, 殷俊锋
    2021, 43 (1): 118-132.   DOI: 10.12286/jssx.j2020-0660
    摘要86)      PDF (428KB)(131)   
    本文构造了求解一类非线性互补问题的松弛two-sweep模系矩阵分裂迭代法. 理论分析建立了新方法在系数矩阵为正定矩阵或 H +矩阵时的收敛性质.数值实验结果表明新方法是行之有效的, 并且在最优参数下松弛two-sweep模系矩阵分裂迭代法在迭代步数和时间上均优于传统的模系矩阵分裂迭代法和two-sweep模系矩阵分裂迭代法.
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    对流反应扩散方程的稳定化时间间断时空有限元解的误差估计
    唐斯琴, 李宏, 董自明, 赵智慧
    2020, 42 (4): 472-486.   DOI: 10.12286/jssx.2020.4.472
    摘要83)      PDF (412KB)(119)   
    在流线迎风Petrov-Galerkin(SUPG)稳定化有限元数值格式的基础上,结合时间方向的变分离散,构造对流反应扩散方程的稳定化时间间断时空有限元格式.该类格式在工程上有一些数值模拟应用,但相关文献没有看到类似数值格式的理论证明.本文以Radau点为节点,构造时间方向的Lagrange插值多项式,证明了稳定化有限元解的稳定性,时间最大模、空间 L 2(Ω)-模误差估计.文中利用插值多项式和有限元方法相结合的技巧,解耦时空变量,去掉了时空网格的限制条件,提供了时间间断稳定化时空有限元方法的理论证明思路,克服了因时空变量统一导致的实际计算时的复杂性.
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