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    电子结构计算的数值方法与理论
    戴小英
    2020, 42 (2): 131-158.   DOI: 10.12286/jssx.2020.2.131
    摘要513)      PDF (690KB)(428)   
    第一原理电子结构计算已成为探索与研究物质机理、理解与预测材料性质的重要手段和工具.虽然第一原理电子结构计算取得了巨大的成功,但是如何利用高性能计算机又快又好地计算大规模体系,如何从数学角度理解电子结构模型的合理性与计算的可靠性和有效性,依然充满各种挑战.基于密度泛函理论的第一原理电子结构计算的核心数学模型为Kohn-Sham方程或相应的Kohn-Sham能量泛函极小问题.近年来,人们分别从非线性算子特征值问题的高效离散及Kohn-Sham能量泛函极小问题的最优化方法设计两个方面对电子结构计算的高效算法设计及分析展开了诸多研究.本文重点介绍我们小组在电子结构计算的方法与理论方面的一些进展,同时简单介绍该领域存在的困难与挑战.
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    弱有限元方法在线弹性问题中的应用
    张然
    2020, 42 (1): 1-17.   DOI: 10.12286/jssx.2020.1.1
    摘要478)      PDF (482KB)(527)   
    本文考虑弱有限元(简称WG)方法在线弹性问题中的应用.WG方法是传统有限元方法的推广,用于偏微分方程的数值求解.和传统有限元一样,它的基本思想源于变分原理.WG方法的特点是使用在剖分单元内部和剖分单元边界上分别有定义的分片多项式函数(即弱函数)作为近似函数来逼近真解,并针对弱函数定义相应的弱微分算子代入数值格式进行计算.除此之外,WG方法允许在数值格式中引进稳定子以实现近似函数的弱连续性.WG方法具有允许使用任意多边形或多面体剖分,数值格式与逼近函数构造简单,易于满足相应的稳定性条件等优点.本文考虑WG方法在求解线弹性问题中的应用.围绕线弹性问题数值求解中常见的三个问题,即:数值格式的强制性,闭锁性,应力张量的对称性介绍WG方法在线弹性问题求解中的应用.
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    中立型随机延迟微分方程分裂步 θ方法的强收敛性
    彭捷, 代新杰, 肖爱国, 卜玮平
    2020, 42 (1): 18-38.   DOI: 10.12286/jssx.2020.1.18
    摘要263)      PDF (411KB)(278)   
    中立型随机延迟微分方程常出现在一些科学技术和工程领域中.本文在漂移系数和扩散系数关于非延迟项满足全局Lipschitz条件,关于延迟项满足多项式增长条件以及中立项满足多项式增长条件下,证明了分裂步 θ方法对于中立型随机延迟微分方程的强收敛阶为1/2.数值实验也验证了这一理论结果.
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    复合凸优化的快速邻近点算法
    郦旭东
    2020, 42 (4): 385-404.   DOI: 10.12286/jssx.2020.4.385
    摘要231)      PDF (598KB)(271)   
    在大数据时代,随着数据采集手段的不断提升,大规模复合凸优化问题大量的出现在包括统计数据分析,机器与统计学习以及信号与图像处理等应用中.本文针对大规模复合凸优化问题介绍了一类快速邻近点算法.在易计算的近似准则和较弱的平稳性条件下,本文给出了该算法的全局收敛与局部渐近超线性收敛结果.同时,我们设计了基于对偶原理的半光滑牛顿法来高效稳定求解邻近点算法所涉及的重要子问题.最后,本文还讨论了如何通过深入挖掘并利用复合凸优化问题中由非光滑正则函数所诱导的非光滑二阶信息来极大减少半光滑牛顿算法中求解牛顿线性系统所需的工作量,从而进一步加速邻近点算法.
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    广义鞍点问题的改进的类SOR算法
    张纯, 贾泽慧, 蔡邢菊
    2020, 42 (1): 39-50.   DOI: 10.12286/jssx.2020.1.39
    摘要221)      PDF (430KB)(265)   
    针对广义鞍点问题,本文提出了一个改进的类逐次超松弛迭代算法,在较弱的条件下,分析了算法的收敛性及线性收敛率.新算法的每步计算量与已有的算法类似,都是需要(近似)求解线性方程组,但新算法有更好的灵活度通过合适地选取参数矩阵,每一步子问题可以容易地求解,甚至可以有闭式解(closed-form solution).数值实验结果显示了新算法的有效性.
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    正则化HSS预处理鞍点矩阵的特征值估计
    曹阳, 陈莹婷
    2020, 42 (1): 51-62.   DOI: 10.12286/jssx.2020.1.51
    摘要180)      PDF (438KB)(228)   
    最近,Bai和Benzi针对鞍点问题提出了一类正则化HSS(Regularized Hermitian and skew-Hermitian splitting,RHSS)预处理子(BIT Numer.Math.,57(2017)287-311).为了进一步分析RHSS预处理子的效果,本文重点研究了RHSS预处理鞍点矩阵特征值的估计,分析了复特征值实部和模的上下界、实特征值的上下界,还给出了特征值均为实数的充分条件.当正则化矩阵取为零矩阵时,RHSS预处理子退化为HSS预处理子,分析表明本文给出的复特征值实部的界比已有的结果更精确.数值算例验证了本文给出的理论结果.
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    求解加权线性最小二乘问题的一类预处理GAOR方法
    王丽, 罗玉花, 王广彬
    2020, 42 (1): 63-79.   DOI: 10.12286/jssx.2020.1.63
    摘要163)      PDF (354KB)(316)   
    为了快速求解一类来自加权线性最小二乘问题的2×2块线性系统,本文提出一类新的预处理子用以加速GAOR方法,也就是新的预处理GAOR方法.得到了一些比较结果,这些结果表明当GAOR方法收敛时,新方法比原GAOR方法和之前的一些预处理GAOR方法有更好的收敛性.而且,数值算例也验证了新预处理子的有效性.
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    计算矩阵函数双线性形式的Krylov子空间算法的误差分析
    贾仲孝, 孙晓琳
    2020, 42 (1): 117-130.   DOI: 10.12286/jssx.2020.1.117
    摘要162)      PDF (446KB)(225)   
    矩阵函数的双线性形式 u T fAv出现在很多应用问题中,其中 uv ∈ R nA ∈ R n×nfz)为给定的解析函数.开发其有效可靠的数值算法一直是近年来学术界所关注的问题,其中关于其数值算法的停机准则多种多样,但欠缺理论支持,可靠性存疑.本文将对矩阵函数的双线性形式 u T fAv的数值算法和后验误差估计进行研究,给出其基于Krylov子空间算法的误差分析,导出相应的误差展开式,证明误差展开式的首项是一个可靠的后验误差估计,据此可以为算法设计出可靠的停机准则.
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    非稳态奇异系数微分方程的时间间断时空有限元方法
    何斯日古楞, 李宏, 刘洋, 方志朝
    2020, 42 (1): 101-116.   DOI: 10.12286/jssx.2020.1.101
    摘要153)      PDF (579KB)(239)   
    针对一类二维单轴奇异系数非稳态问题构造了一种时间间断时空有限元格式,利用以Radau点为节点的Lagrange插值多项式的特性,结合有限差分法和有限元法的技巧证明了格式的稳定性和有限元解的时间最大模、空间加权 L 2(?)-模误差估计.最后列举了一些数值试验结果,验证了理论结果和格式的可行性.
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    自适应稀疏伪谱逼近新方法
    林济铿, 袁恺明, 申丹枫, 罗萍萍, 刘阳升
    2020, 42 (1): 80-100.   DOI: 10.12286/jssx.2020.1.80
    摘要147)      PDF (1207KB)(220)   
    自适应稀疏伪谱逼近法是广义混沌多项式类方法的最新进展,相对于其它方法具有计算精度高、速度快的优点.但它仍存在如下缺点:1)终止判据对逼近误差的估计精度偏低;2)只适用于单输出问题.本文提出了适用于多输出问题且具有更高逼近精度的自适应稀疏伪谱逼近新方法.本文首先提出了新型终止判据及基于此新型终止判据的自适应稀疏伪谱逼近新方法,并以命题的形式证明了新型终止判据相比于现有终止判据具有更高的估计精度,从而使基于此的逼近函数精度更接近于预期精度;进而,本文基于指标集的统一策略和新型终止判据,提出了适用于多输出问题的自适应稀疏伪谱逼近新方法,该方法因能充分利用各输出变量的抽样结果,具有比将单输出方法直接推广到多输出问题更高的计算效率.多个算例验证了本文所提出新方法的有效性和正确性.
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    等距丢失模型下的框架张量积重构方法
    范俊民, 冷劲松, 李东伟
    2020, 42 (2): 159-169.   DOI: 10.12286/jssx.2020.2.159
    摘要139)      PDF (474KB)(147)   
    框架理论常应用于信号重构.当编码系数在传输过程中发生等距丢失时,基于框架张量积的一些性质,我们可以利用框架张量积对信号进行编码从而降低数据丢失对重构信号的影响.本文由此提出了一种等距丢失模型,并在此模型下,研究了数据等距丢失下的最优对偶框架张量积,得出了对偶框架和正则对偶框架的张量积是最优对偶框架张量积的两个充分必要条件.最后数值实验也说明了:在等距丢失模型下,最优对偶框架张量积比一般对偶框架张量积的信号重构结果更优.
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    子空间约束下矩阵方程 A T XB+ B T X T A= D的解及最佳逼近
    冯艳昭, 张澜
    2020, 42 (2): 246-256.   DOI: 10.12286/jssx.2020.2.246
    摘要137)      PDF (309KB)(161)   
    约束矩阵方程求解是指在满足一定约束条件下求矩阵方程(组)的解.在子空间约束条件下,利用共轭梯度法,结合线性投影算子,得到矩阵方程 A T XB+ B T X T A= D的解,进一步得到其最佳逼近.最后用数值例子证实了算法的有效性.
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    线性比式和规划问题的输出空间分支定界算法
    高岳林, 张博
    2020, 42 (2): 207-222.   DOI: 10.12286/jssx.2020.2.207
    摘要136)      PDF (441KB)(141)   
    本文旨在针对线性比式和规划这一NP-Hard非线性规划问题提出新的全局优化算法.首先,通过引入 p个辅助变量把原问题等价的转化为一个非线性规划问题,这个非线性规划问题的目标函数是乘积和的形式并给原问题增加了 p个新的非线性约束,再通过构造凸凹包络的技巧对等价问题的目标函数和约束条件进行相应的线性放缩,构成等价问题的一个下界线性松弛规划问题,从而提出了一个求解原问题的分支定界算法,并证明了算法的收敛性.最后,通过数值结果比较表明所提出的算法是可行有效的.
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    求解带Toeplitz矩阵的线性互补问题的一类预处理模系矩阵分裂迭代法
    吴敏华, 李郴良
    2020, 42 (2): 223-236.   DOI: 10.12286/jssx.2020.2.223
    摘要126)      PDF (430KB)(228)   
    针对系数矩阵为对称正定Toeplitz矩阵的线性互补问题,本文提出了一类预处理模系矩阵分裂迭代方法.先通过变量替换将线性互补问题转化为一类非线性方程组,然后选取Strang或T.Chan循环矩阵作为预优矩阵,利用共轭梯度法进行求解.我们分析了该方法的收敛性.数值实验表明,该方法是高效可行的.
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    基于线性代数的大规模快速量纲分析算法及其在爆炸与冲击工程研究中的应用
    钟巍, 田宙, 寿列枫
    2020, 42 (2): 170-195.   DOI: 10.12286/jssx.2020.2.170
    摘要123)      PDF (1495KB)(135)   
    量纲分析是科学研究,特别是工程应用中非常重要的一个理论分析工具.从E.Buckingham提出Π定理开始算起,量纲分析已有一百多年历史,其基本理论和方法已经非常成熟,在各个领域也取得了显著的成果并且仍然有着广泛的应用.然而,随着研究的深入,面对的问题越来越复杂和细致,人们越来越关注在传统量纲分析中忽略掉的一些所谓次要因素的影响,因此涉及的物理量变得越来越多,导致按传统的量纲分析方法处理时常常显得非常繁琐甚至困难.本文从线性代数的观点出发,将量纲分析转换为线性空间问题,通过矩阵运算,完成量纲分析的关键过程.给出了量纲分析对应的线性代数问题的基本定理,并基于这些定理建立了程序化的量纲分析算法,将原本复杂的量纲分析问题转化为借助计算机代数系统能够快速方便解决的矩阵运算问题.最后,结合笔者多年的工作经历,给出了上述方法在爆炸与冲击工程研究领域中的若干应用实例,详细表述了具体操作步骤,验证了算法的优越性.
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    抛物型界面问题的变网格有限元方法
    关宏波, 洪亚鹏
    2020, 42 (2): 196-206.   DOI: 10.12286/jssx.2020.2.196
    摘要121)      PDF (516KB)(156)   
    本文针对抛物型界面问题,提出了一种线性三角形变网格有限元方法.其主要思路是针对空间变量采用有限元离散,对时间变量采用差分离散,但是不同时刻的有限元剖分网格可以不同.在不引入Ritz投影这一传统分析工具的情况下,得到了最优误差估计结果,使得证明过程更加简洁.给出的数值算例验证了理论分析的正确性.
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    中国计算数学奠基人冯康
    2020, 42 (3): 258-259.   DOI: 10.12286/jssx.2020.3.258
    摘要117)      PDF (9198KB)(404)   
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    可压缩流体力学高精度拉格朗日格式及其保正性质
    成娟, 舒其望
    2020, 42 (3): 261-278.   DOI: 10.12286/jssx.2020.3.261
    摘要117)      PDF (496KB)(240)   
    本文对可压缩流体力学高精度拉格朗日格式及其保正性质近年来的发展给出回顾与综述.文中分别介绍了一维、二维可压缩流体力学方程中心型拉格朗日格式的设计步骤,回顾了高精度拉格朗日格式以及高精度保正拉格朗日格式的研究进展.
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    多辛Dirac方程的高阶整体保能量格式
    袭春晓, 孙建强, 孔嘉萌
    2020, 42 (2): 237-245.   DOI: 10.12286/jssx.2020.2.237
    摘要115)      PDF (1079KB)(148)   
    基于四阶平均向量场方法和拟谱方法构造了Dirac方程的高阶整体保能量格式,利用构造的高阶整体保能量格式数值模拟方程孤立波的演化行为.数值模拟结果表明构造的高阶整体保能量格式可以很好地模拟Dirac方程孤立波的演化行为,并且可以精确地保持方程的整体能量守恒特性.
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    深度学习中残差网络的随机训练策略
    孙琪, 陶蕴哲, 杜强
    2020, 42 (3): 349-369.   DOI: 10.12286/jssx.2020.3.349
    摘要108)      PDF (1584KB)(275)   
    为了有效提高深度学习模型在实际应用场景中的泛化能力,近年来工业界和学术界对神经网络训练阶段所采用的加噪技巧给予了高度关注.当网络模型架构中的待求参数固定时,修正方程的思想可以被用来刻画随机训练策略下数据特征的传播过程,从而看出在恰当位置添加剪枝层后的残差网络等价于随机微分方程的数值离散格式.建立这两者间的对应关系使得我们可以将残差网络的随机训练过程与求解倒向柯尔莫哥洛夫方程的最优控制问题联系起来.该发现不仅使得人们可以从微分方程及其最优控制的角度来研究加噪技巧所带来的正则化效应,同时也为构建可解释性强且有效的随机训练方法提供了科学依据.本文也以二分类问题作为简例来对上述观点做进一步的阐述和说明.
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