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    复合凸优化的快速邻近点算法
    郦旭东
    2020, 42 (4): 385-404.   DOI: 10.12286/jssx.2020.4.385
    摘要579)      PDF (598KB)(597)   
    在大数据时代,随着数据采集手段的不断提升,大规模复合凸优化问题大量的出现在包括统计数据分析,机器与统计学习以及信号与图像处理等应用中.本文针对大规模复合凸优化问题介绍了一类快速邻近点算法.在易计算的近似准则和较弱的平稳性条件下,本文给出了该算法的全局收敛与局部渐近超线性收敛结果.同时,我们设计了基于对偶原理的半光滑牛顿法来高效稳定求解邻近点算法所涉及的重要子问题.最后,本文还讨论了如何通过深入挖掘并利用复合凸优化问题中由非光滑正则函数所诱导的非光滑二阶信息来极大减少半光滑牛顿算法中求解牛顿线性系统所需的工作量,从而进一步加速邻近点算法.
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    计算神经科学
    周栋焯
    2021, 43 (2): 133-161.   DOI: 10.12286/jssx.j2021-0772
    摘要417)      PDF (1540KB)(380)   
    计算神经科学是近三十年来出现的一个新兴交叉学科,它强调采用数学定量的方法,如数学建模、理论分析和数值模拟等来研究和解决神经科学中的重要科学问题,一方面神经科学实验现象为发展新的数学模型、理论和算法提供了基础,另一方面通过数学定量,能反过来揭示神经科学实验现象背后的数理机制,发现新的科学规律.随着欧盟、美国、日本和我国脑计划的陆续推出,对大脑的探索已成为重要的前沿科学领域,同时随着数据科学、机器学习等领域的兴起,研究如何借鉴大脑的工作原理来实现类脑计算以及人工智能也成为了世界大国科技竞争的战略制高点.鉴于此,计算神经科学作为连接大脑神经科学与类脑人工智能两大研究领域的桥梁,在前沿科学领域和国家战略需求中的地位变得越来越重要.计算神经科学研究领域的发展,对于推动神经科学与数学、物理、统计、计算机、人工智能等其他自然科学学科及工程应用学科之间的共进发展,以及综合利用不同学科的优势互补来取得从零到一的重要科学突破有着重大意义.
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    机器学习原子间相互作用建模
    王涵
    2021, 43 (3): 261-278.   DOI: 10.12286/jssx.j2021-0833
    摘要198)      PDF (705KB)(275)   
    原子间相互作用建模是分子动力学模拟的核心问题之一.基于第一性原理的建模准而不快,经验势模型快而不准,因此人们长期面临精度和效率只得其一的两难困境.基于机器学习的原子间相互作用建模在达到第一性原理精度的同时,计算开销大大降低,因而有希望解决这一两难困境.本文将介绍构造基于机器学习的原子间相互作用模型的一般框架,归纳近年来的主要建模工作,并探讨这些工作的优势和劣势.
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    关于最小二乘QR分解算法(LSQR)的一个注记
    何鹏辉, 李厚彪
    2020, 42 (4): 487-496.   DOI: 10.12286/jssx.2020.4.487
    摘要165)      PDF (314KB)(153)   
    本文从最小多项式出发,通过寻找包含奇异线性系统 Ax= b最小范数解的一个解空间,获得了一个更简单的求解广义逆的计算公式.并从理论上对最小二乘QR分解算法(LSQR)收敛性进行了简单分析,分析表明LSQR的收敛性与矩阵 A的非零奇异值密切相关,并用 A的非零奇异值以及所寻找到的最小范数解空间将最小范数解线性表出.
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    关于辛算法稳定性的若干注记
    尚在久, 宋丽娜
    2020, 42 (4): 405-418.   DOI: 10.12286/jssx.2020.4.405
    摘要160)      PDF (539KB)(167)   
    我们讨论辛算法的线性稳定性和非线性稳定性,从动力系统和计算的角度论述了研究辛算法的这两类稳定性问题的重要性,分析总结了相关重要结果.我们给出了解析方法的明确定义,证明了稳定函数是亚纯函数的解析辛方法是绝对线性稳定的.绝对线性稳定的辛方法既有解析方法(如Runge-Kutta辛方法),也有非解析方法(如基于常数变易公式对线性部分进行指数积分而对非线性部分使用其它数值积分的方法).我们特别回顾并讨论了R.I.McLachlan,S.K.Gray和S.Blanes,F.Casas,A.Murua等关于分裂算法的线性稳定性结果,如通过选取适当的稳定多项式函数构造具有最优线性稳定性的任意高阶分裂辛算法和高效共轭校正辛算法,这类经优化后的方法应用于诸如高振荡系统和波动方程等线性方程或者线性主导的弱非线性方程具有良好的数值稳定性.我们通过分析辛算法在保持椭圆平衡点的稳定性,能量面的指数长时间慢扩散和KAM不变环面的保持等三个方面阐述了辛算法的非线性稳定性,总结了相关已有结果.最后在向后误差分析基础上,基于一个自由度的非线性振子和同宿轨分析法讨论了辛算法的非线性稳定性,提出了一个新的非线性稳定性概念,目的是为辛算法提供一个实际可用的非线性稳定性判别法.
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    非线性第二类Volterra积分方程的Chebyshev谱配置法
    古振东, 孙丽英
    2020, 42 (4): 445-456.   DOI: 10.12286/jssx.2020.4.445
    摘要122)      PDF (334KB)(160)   
    我们在参考了相关文献的基础上,考察了一类非线性Volterra积分方程的Chebyshev谱配置法.方法中,我们将该类非线性方程转化为两个方程进行数值逼近.我们选择 N阶Chebyshev Gauss-Lobatto点作为配置点,对积分项用 N阶高斯数值积分公式逼近.收敛性分析结果表明数值误差的收敛阶为 N (1/2)-m,其中 m是已知函数最高连续导数的阶数.我们也开展数值实验证实这一理论分析结果.
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    一类Toeplitz线性代数方程组的预处理GMRES方法
    何颖, 刘皞
    2021, 43 (2): 177-191.   DOI: 10.12286/jssx.j2019-0605
    摘要122)      PDF (514KB)(253)   
    本文研究一类来源于分数阶特征值问题的Toeplitz线性代数方程组的求解.构造Strang循环矩阵作为预处理矩阵来求解该Toeplitz线性代数方程组,分析了预处理后系数矩阵的特征值性质.提出求解该线性代数方程组的预处理广义极小残量法(PGMRES),并给出该算法的计算量.数值算例表明了该方法的有效性.
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    无单调性集值变分不等式的一种投影算法
    陈园
    2020, 42 (4): 435-444.   DOI: 10.12286/jssx.2020.4.435
    摘要121)      PDF (305KB)(121)   
    本文给出了求解无单调性集值变分不等式的一个新的投影算法,该算法所产生的迭代序列在Minty变分不等式解集非空且映射满足一定的连续性条件下收敛到解.对比文献[10]中的算法,本文中的算法使用了不同的线性搜索和半空间,在计算本文所引的两个数值例子时,该算法比文献[10]中的算法所需迭代步更少.
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    非正交网格上满足极值原理的扩散格式
    袁光伟
    2021, 43 (1): 1-16.   DOI: 10.12286/jssx.j2020-0673
    摘要119)      PDF (448KB)(258)   
    构造了非正交网格上扩散方程新的非线性单元中心型有限体积格式, 证明了该格式满足离散极值原理, 且在适当条件下具有强制性、以及在离散 H 1范数下解的有界性和一阶收敛性.
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    四元数矩阵方程 AXB+ CXD= E的广义延拓解
    蓝家新, 黄敬频, 毛利影, 王敏
    2020, 42 (4): 497-507.   DOI: 10.12286/jssx.2020.4.497
    摘要115)      PDF (327KB)(130)   
    本文在四元数体上讨论矩阵方程 AXB+ CXD= E的广义行(列)共轭延拓解问题.利用四元数矩阵的复与实分解,以及广义共轭延拓矩阵的结构特点,借助矩阵Kronecker积,把约束四元数矩阵方程转化为实数域上无约束方程,从而得到该方程具有广义行(列)共轭延拓解的充要条件及其通解表达式.最后通过数值算例说明所给算法的可行性.
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    凸约束非光滑方程组一个新的谱梯度投影算法
    尹江华, 简金宝, 江羡珍
    2020, 42 (4): 457-471.   DOI: 10.12286/jssx.2020.4.457
    摘要113)      PDF (722KB)(181)   
    基于寻找分离超平面的三种经典线搜索技术,本文提出了一种自适应线搜索技术.结合谱梯度投影法,提出了凸约束非光滑单调方程组的一个谱梯度投影算法.该算法不需要计算和存储任何矩阵,因而适合求解大规模非光滑的非线性单调方程组.在较弱的条件下,证明了方法的全局收敛性,并分析了算法的收敛率.数值试验结果表明算法是有效的和鲁棒的.
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    中立型比例延迟微分系统线性 θ-方法的渐近估计
    张根根, 肖爱国, 王晚生
    2020, 42 (4): 419-434.   DOI: 10.12286/jssx.2020.4.419
    摘要101)      PDF (389KB)(130)   
    本文研究了一类线性非自治中立型比例延迟微分系统线性 θ-方法的渐近稳定性,并借助于泛函不等式得到了数值解的渐近估计.此渐近估计不仅比数值渐近稳定性描述得更加精确,而且还能给出非稳定情形数值解的上界估计式.数值算例验证了相关理论结果.
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    求解一类非线性互补问题的松弛two-sweep模系矩阵分裂迭代法
    丁戬, 殷俊锋
    2021, 43 (1): 118-132.   DOI: 10.12286/jssx.j2020-0660
    摘要95)      PDF (428KB)(169)   
    本文构造了求解一类非线性互补问题的松弛two-sweep模系矩阵分裂迭代法. 理论分析建立了新方法在系数矩阵为正定矩阵或 H +矩阵时的收敛性质.数值实验结果表明新方法是行之有效的, 并且在最优参数下松弛two-sweep模系矩阵分裂迭代法在迭代步数和时间上均优于传统的模系矩阵分裂迭代法和two-sweep模系矩阵分裂迭代法.
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    多元统计分析中一类矩阵迹函数最小化问题的有效算法
    李姣芬, 秦树娟, 张丽, 候文婷
    2021, 43 (1): 70-86.   DOI: 10.12286/jssx.j2019-0583
    摘要92)      PDF (853KB)(104)   
    研究来源于多元统计分析中的一类矩阵迹函数最小化问题$$\min c+ tr(AX)+\sum\limits_{j=1}^{m}tr(B_j X C_jX^{T}),\ \ {\rm s. t.} \ X^TX=I_p,$$其中$c$为常数, $A\in R^{p\times n}\ (n\geq p)$, $B_j\in R^{n\times n}, C_j\in R^{p\times p}$为给定系数矩阵. 数值实验表明已有的Majorization算法虽可行, 但收敛速度缓慢且精度不高. 本文从黎曼流形的角度重新研究该问题, 基于Stiefel流形的几何性质, 构造一类黎曼非单调共轭梯度迭代求解算法, 并给出算法收敛性分析.数值实验和数值比较验证所提出的算法对于问题模型是高效可行的.
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    广义Nekrasov矩阵的细分迭代判别法
    郭爱丽, 聂祥荣, 武玲玲
    2020, 42 (4): 508-514.   DOI: 10.12286/jssx.2020.4.508
    摘要91)      PDF (276KB)(117)   
    利用细分矩阵下标集合的思想,构造递进系数和特殊的正对角矩阵,结合不等式的放缩,给出广义Nekrasov矩阵的迭代判别法,推广和改进了已有相关结果,并用数值实例说明了所得结果的优越性.
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    简化摩擦接触问题的对称弱超内罚间断Galerkin方法的先验和后验误差估计
    曾玉平, 翁智峰, 胡汉章
    2021, 43 (2): 162-176.   DOI: 10.12286/jssx.j2019-0584
    摘要91)      PDF (352KB)(97)   
    本文讨论了简化摩擦接触问题的一类对称弱超内罚间断Galerkin方法.首先,在能量范数意义下得到最优先验误差估计.进一步,我们推导了一类残量型后验误差估计子,并证明了它的可靠性和有效性.
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    求解一类分块二阶线性方程组的QHSS迭代方法
    李天怡, 陈芳
    2021, 43 (1): 110-117.   DOI: 10.12286/jssx.j2020-0657
    摘要89)      PDF (299KB)(133)   
    本文将QHSS迭代方法运用于求解一类分块二阶线性方程组. 通过适当地放宽QHSS迭代方法的收敛性条件,我们给出了用QHSS迭代方法求解一类分块二阶线性方程组的具体迭代格式,并证明了当系数矩阵中的(1,1)块对称半正定时该QHSS迭代方法的收敛性.我们还用数值实验验证了QHSS迭代方法的可行性和有效性.
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    对流反应扩散方程的稳定化时间间断时空有限元解的误差估计
    唐斯琴, 李宏, 董自明, 赵智慧
    2020, 42 (4): 472-486.   DOI: 10.12286/jssx.2020.4.472
    摘要86)      PDF (412KB)(125)   
    在流线迎风Petrov-Galerkin(SUPG)稳定化有限元数值格式的基础上,结合时间方向的变分离散,构造对流反应扩散方程的稳定化时间间断时空有限元格式.该类格式在工程上有一些数值模拟应用,但相关文献没有看到类似数值格式的理论证明.本文以Radau点为节点,构造时间方向的Lagrange插值多项式,证明了稳定化有限元解的稳定性,时间最大模、空间 L 2(Ω)-模误差估计.文中利用插值多项式和有限元方法相结合的技巧,解耦时空变量,去掉了时空网格的限制条件,提供了时间间断稳定化时空有限元方法的理论证明思路,克服了因时空变量统一导致的实际计算时的复杂性.
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    随机平面线弹性问题的一类弱Galerkin方法
    陈明卿, 谢小平
    2021, 43 (3): 279-300.   DOI: 10.12286/jssx.j2019-0652
    摘要82)      PDF (603KB)(102)   
    本文针对带有随机杨氏模量和荷载的平面线弹性问题,提出了一类随机弱Galerkin有限元方法.先利用Karhunen-Loève展开把随机项参数化,将方程转化为一个确定性问题;再采用弱Galerkin有限元法和$k$-/$p$-型方法分别离散空间区域和随机场.在弱Galerkin离散中,用分片$s(s\geqslant 1$)和$s+1$次多项式逼近单元内部的应力和位移,用分片$s$次多项式逼近位移在单元边界上的迹.证明了该方法关于空间网格尺度最优且与Lamé常数$\lambda$一致无关的误差估计.最后通过数值算例验证了理论结果.
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    稳态Poisson-Nernst-Planck方程的残量型后验误差估计
    房明娟, 阳莺, 唐鸣
    2021, 43 (1): 17-32.   DOI: 10.12286/jssx.j2019-0573
    摘要80)      PDF (1517KB)(220)   
    针对稳态的Poisson-Nernst-Planck方程研究了一种残量型的后验误差估计子, 对方程的两个解-浓度和电势, 都分别给出了上界和下界估计. 数值实验表明, 基于这种后验误差估计子构造的自适应有限元算法对于稳态的Poisson-Nernst-Planck方程是有效的.
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