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    电子结构计算的数值方法与理论
    戴小英
    2020, 42 (2): 131-158.   DOI: 10.12286/jssx.2020.2.131
    摘要579)      PDF (690KB)(469)   
    第一原理电子结构计算已成为探索与研究物质机理、理解与预测材料性质的重要手段和工具.虽然第一原理电子结构计算取得了巨大的成功,但是如何利用高性能计算机又快又好地计算大规模体系,如何从数学角度理解电子结构模型的合理性与计算的可靠性和有效性,依然充满各种挑战.基于密度泛函理论的第一原理电子结构计算的核心数学模型为Kohn-Sham方程或相应的Kohn-Sham能量泛函极小问题.近年来,人们分别从非线性算子特征值问题的高效离散及Kohn-Sham能量泛函极小问题的最优化方法设计两个方面对电子结构计算的高效算法设计及分析展开了诸多研究.本文重点介绍我们小组在电子结构计算的方法与理论方面的一些进展,同时简单介绍该领域存在的困难与挑战.
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    复合凸优化的快速邻近点算法
    郦旭东
    2020, 42 (4): 385-404.   DOI: 10.12286/jssx.2020.4.385
    摘要395)      PDF (598KB)(456)   
    在大数据时代,随着数据采集手段的不断提升,大规模复合凸优化问题大量的出现在包括统计数据分析,机器与统计学习以及信号与图像处理等应用中.本文针对大规模复合凸优化问题介绍了一类快速邻近点算法.在易计算的近似准则和较弱的平稳性条件下,本文给出了该算法的全局收敛与局部渐近超线性收敛结果.同时,我们设计了基于对偶原理的半光滑牛顿法来高效稳定求解邻近点算法所涉及的重要子问题.最后,本文还讨论了如何通过深入挖掘并利用复合凸优化问题中由非光滑正则函数所诱导的非光滑二阶信息来极大减少半光滑牛顿算法中求解牛顿线性系统所需的工作量,从而进一步加速邻近点算法.
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    深度学习中残差网络的随机训练策略
    孙琪, 陶蕴哲, 杜强
    2020, 42 (3): 349-369.   DOI: 10.12286/jssx.2020.3.349
    摘要153)      PDF (1584KB)(305)   
    为了有效提高深度学习模型在实际应用场景中的泛化能力,近年来工业界和学术界对神经网络训练阶段所采用的加噪技巧给予了高度关注.当网络模型架构中的待求参数固定时,修正方程的思想可以被用来刻画随机训练策略下数据特征的传播过程,从而看出在恰当位置添加剪枝层后的残差网络等价于随机微分方程的数值离散格式.建立这两者间的对应关系使得我们可以将残差网络的随机训练过程与求解倒向柯尔莫哥洛夫方程的最优控制问题联系起来.该发现不仅使得人们可以从微分方程及其最优控制的角度来研究加噪技巧所带来的正则化效应,同时也为构建可解释性强且有效的随机训练方法提供了科学依据.本文也以二分类问题作为简例来对上述观点做进一步的阐述和说明.
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    等距丢失模型下的框架张量积重构方法
    范俊民, 冷劲松, 李东伟
    2020, 42 (2): 159-169.   DOI: 10.12286/jssx.2020.2.159
    摘要148)      PDF (474KB)(156)   
    框架理论常应用于信号重构.当编码系数在传输过程中发生等距丢失时,基于框架张量积的一些性质,我们可以利用框架张量积对信号进行编码从而降低数据丢失对重构信号的影响.本文由此提出了一种等距丢失模型,并在此模型下,研究了数据等距丢失下的最优对偶框架张量积,得出了对偶框架和正则对偶框架的张量积是最优对偶框架张量积的两个充分必要条件.最后数值实验也说明了:在等距丢失模型下,最优对偶框架张量积比一般对偶框架张量积的信号重构结果更优.
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    线性比式和规划问题的输出空间分支定界算法
    高岳林, 张博
    2020, 42 (2): 207-222.   DOI: 10.12286/jssx.2020.2.207
    摘要145)      PDF (441KB)(148)   
    本文旨在针对线性比式和规划这一NP-Hard非线性规划问题提出新的全局优化算法.首先,通过引入 p个辅助变量把原问题等价的转化为一个非线性规划问题,这个非线性规划问题的目标函数是乘积和的形式并给原问题增加了 p个新的非线性约束,再通过构造凸凹包络的技巧对等价问题的目标函数和约束条件进行相应的线性放缩,构成等价问题的一个下界线性松弛规划问题,从而提出了一个求解原问题的分支定界算法,并证明了算法的收敛性.最后,通过数值结果比较表明所提出的算法是可行有效的.
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    子空间约束下矩阵方程 A T XB+ B T X T A= D的解及最佳逼近
    冯艳昭, 张澜
    2020, 42 (2): 246-256.   DOI: 10.12286/jssx.2020.2.246
    摘要144)      PDF (309KB)(177)   
    约束矩阵方程求解是指在满足一定约束条件下求矩阵方程(组)的解.在子空间约束条件下,利用共轭梯度法,结合线性投影算子,得到矩阵方程 A T XB+ B T X T A= D的解,进一步得到其最佳逼近.最后用数值例子证实了算法的有效性.
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    求解带Toeplitz矩阵的线性互补问题的一类预处理模系矩阵分裂迭代法
    吴敏华, 李郴良
    2020, 42 (2): 223-236.   DOI: 10.12286/jssx.2020.2.223
    摘要142)      PDF (430KB)(235)   
    针对系数矩阵为对称正定Toeplitz矩阵的线性互补问题,本文提出了一类预处理模系矩阵分裂迭代方法.先通过变量替换将线性互补问题转化为一类非线性方程组,然后选取Strang或T.Chan循环矩阵作为预优矩阵,利用共轭梯度法进行求解.我们分析了该方法的收敛性.数值实验表明,该方法是高效可行的.
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    可压缩流体力学高精度拉格朗日格式及其保正性质
    成娟, 舒其望
    2020, 42 (3): 261-278.   DOI: 10.12286/jssx.2020.3.261
    摘要138)      PDF (496KB)(257)   
    本文对可压缩流体力学高精度拉格朗日格式及其保正性质近年来的发展给出回顾与综述.文中分别介绍了一维、二维可压缩流体力学方程中心型拉格朗日格式的设计步骤,回顾了高精度拉格朗日格式以及高精度保正拉格朗日格式的研究进展.
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    抛物型界面问题的变网格有限元方法
    关宏波, 洪亚鹏
    2020, 42 (2): 196-206.   DOI: 10.12286/jssx.2020.2.196
    摘要136)      PDF (516KB)(167)   
    本文针对抛物型界面问题,提出了一种线性三角形变网格有限元方法.其主要思路是针对空间变量采用有限元离散,对时间变量采用差分离散,但是不同时刻的有限元剖分网格可以不同.在不引入Ritz投影这一传统分析工具的情况下,得到了最优误差估计结果,使得证明过程更加简洁.给出的数值算例验证了理论分析的正确性.
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    中国计算数学奠基人冯康
    2020, 42 (3): 258-259.   DOI: 10.12286/jssx.2020.3.258
    摘要136)      PDF (9198KB)(437)   
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    基于线性代数的大规模快速量纲分析算法及其在爆炸与冲击工程研究中的应用
    钟巍, 田宙, 寿列枫
    2020, 42 (2): 170-195.   DOI: 10.12286/jssx.2020.2.170
    摘要134)      PDF (1495KB)(159)   
    量纲分析是科学研究,特别是工程应用中非常重要的一个理论分析工具.从E.Buckingham提出Π定理开始算起,量纲分析已有一百多年历史,其基本理论和方法已经非常成熟,在各个领域也取得了显著的成果并且仍然有着广泛的应用.然而,随着研究的深入,面对的问题越来越复杂和细致,人们越来越关注在传统量纲分析中忽略掉的一些所谓次要因素的影响,因此涉及的物理量变得越来越多,导致按传统的量纲分析方法处理时常常显得非常繁琐甚至困难.本文从线性代数的观点出发,将量纲分析转换为线性空间问题,通过矩阵运算,完成量纲分析的关键过程.给出了量纲分析对应的线性代数问题的基本定理,并基于这些定理建立了程序化的量纲分析算法,将原本复杂的量纲分析问题转化为借助计算机代数系统能够快速方便解决的矩阵运算问题.最后,结合笔者多年的工作经历,给出了上述方法在爆炸与冲击工程研究领域中的若干应用实例,详细表述了具体操作步骤,验证了算法的优越性.
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    基于辛格式的深度哈密尔顿神经网络
    祝爱卿, 金鹏展, 唐贻发
    2020, 42 (3): 370-384.   DOI: 10.12286/jssx.2020.3.370
    摘要131)      PDF (2717KB)(274)   
    HNN是一类基于物理先验学习哈密尔顿系统的神经网络.本文通过误差分析解释使用不同积分器作为超参数对HNN的影响.如果我们把网络目标定义为在任意训练集上损失为零的映射,那么传统的积分器无法保证HNN存在网络目标.我们引进反修正方程,并严格证明基于辛格式的HNN具有网络目标,且它与原哈密尔顿量之差依赖于数值格式的精度.数值实验表明,由辛HNN得到的哈密尔顿系统的相流不能精确保持原哈密尔顿量,但保持网络目标;网络目标在训练集、测试集上的损失远小于原哈密尔顿量的损失;在预测问题上辛HNN较非辛HNN具备更强大的泛化能力和更高的精度.因此,辛格式对于HNN是至关重要的.
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    边界元方法的一些研究进展
    刘阳, 李金, 胡齐芽, 贾祖朋, 余德浩
    2020, 42 (3): 310-348.   DOI: 10.12286/jssx.2020.3.310
    摘要130)      PDF (833KB)(256)   
    本文旨在综述我们小组近二十年来在边界元方法这一领域的一些研究成果,在简要介绍边界元方法的基本思想后,主要介绍了一类非线性界面问题的有限元-边界元耦合方法、求解电磁散射问题的有限元-边界元耦合方法和超奇异积分的一类计算方法.
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    多辛Dirac方程的高阶整体保能量格式
    袭春晓, 孙建强, 孔嘉萌
    2020, 42 (2): 237-245.   DOI: 10.12286/jssx.2020.2.237
    摘要124)      PDF (1079KB)(158)   
    基于四阶平均向量场方法和拟谱方法构造了Dirac方程的高阶整体保能量格式,利用构造的高阶整体保能量格式数值模拟方程孤立波的演化行为.数值模拟结果表明构造的高阶整体保能量格式可以很好地模拟Dirac方程孤立波的演化行为,并且可以精确地保持方程的整体能量守恒特性.
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    关于辛算法稳定性的若干注记
    尚在久, 宋丽娜
    2020, 42 (4): 405-418.   DOI: 10.12286/jssx.2020.4.405
    摘要120)      PDF (539KB)(134)   
    我们讨论辛算法的线性稳定性和非线性稳定性,从动力系统和计算的角度论述了研究辛算法的这两类稳定性问题的重要性,分析总结了相关重要结果.我们给出了解析方法的明确定义,证明了稳定函数是亚纯函数的解析辛方法是绝对线性稳定的.绝对线性稳定的辛方法既有解析方法(如Runge-Kutta辛方法),也有非解析方法(如基于常数变易公式对线性部分进行指数积分而对非线性部分使用其它数值积分的方法).我们特别回顾并讨论了R.I.McLachlan,S.K.Gray和S.Blanes,F.Casas,A.Murua等关于分裂算法的线性稳定性结果,如通过选取适当的稳定多项式函数构造具有最优线性稳定性的任意高阶分裂辛算法和高效共轭校正辛算法,这类经优化后的方法应用于诸如高振荡系统和波动方程等线性方程或者线性主导的弱非线性方程具有良好的数值稳定性.我们通过分析辛算法在保持椭圆平衡点的稳定性,能量面的指数长时间慢扩散和KAM不变环面的保持等三个方面阐述了辛算法的非线性稳定性,总结了相关已有结果.最后在向后误差分析基础上,基于一个自由度的非线性振子和同宿轨分析法讨论了辛算法的非线性稳定性,提出了一个新的非线性稳定性概念,目的是为辛算法提供一个实际可用的非线性稳定性判别法.
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    基于分子动力学模拟的金属构件的弹-塑性分解方法
    崔俊芝, 余翌帆
    2020, 42 (3): 279-297.   DOI: 10.12286/jssx.2020.3.279
    摘要102)      PDF (864KB)(169)   
    针对金属多晶材料构件的分子动力学(MD)模拟,本文提出了一种新的弹-塑性分解方法.文章将MD运动轨迹分解为结构变形和热振动,给出了计算结构变形的方法和近似公式;针对金属多晶材料构件的当前构型,给出了基于FCC|BCC晶胞和四原子占位的四面体单元相组合的连续变形函数及计算变形梯度的算法;利用原子-连续关联模型,发展了计算当前构型应力场和弹性张量的算法.分析了当构件承受过大载荷后在材料内部所产生的微观缺陷,并将其分类标定为位错、层错、挛晶界、晶界和空位等;对于层错和挛晶界讨论了在弹性卸载过程中应满足的刚体运动约束方程;利用极小势能原理构造了基于当前构型的弹性卸载算法,进而给出了完整的基于MD模拟的计算弹-塑性应变的算法.最后,针对单晶铜纳米线拉伸的MD模拟,计算了弹-塑性应变场,验证了本文方法的合理性.
    本文提出的基于MD模拟的弹-塑性分解方法,为从微观到宏观的多尺度和多模型耦合计算提供了算法支撑.
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    关于最小二乘QR分解算法(LSQR)的一个注记
    何鹏辉, 李厚彪
    2020, 42 (4): 487-496.   DOI: 10.12286/jssx.2020.4.487
    摘要97)      PDF (314KB)(130)   
    本文从最小多项式出发,通过寻找包含奇异线性系统 Ax= b最小范数解的一个解空间,获得了一个更简单的求解广义逆的计算公式.并从理论上对最小二乘QR分解算法(LSQR)收敛性进行了简单分析,分析表明LSQR的收敛性与矩阵 A的非零奇异值密切相关,并用 A的非零奇异值以及所寻找到的最小范数解空间将最小范数解线性表出.
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    一种抽象的稳定化方法及在非线性不可压缩弹性问题上的应用
    洪庆国, 刘春梅, 许进超
    2020, 42 (3): 298-309.   DOI: 10.12286/jssx.2020.3.298
    摘要93)      PDF (418KB)(208)   
    针对非线性不可压缩弹性力学问题,本文提出了一种抽象的稳定化方法并将其应用于非线性不可压缩弹性问题上.在该框架中,我们证明了只要连续的混合问题是稳定的,则可以修正任何满足离散inf-sup条件的混合有限元方法使其是稳定的且最优收敛的.我们将这种抽象的稳定化理论框架应用于非线性不可压缩弹性力学问题,给出了稳定性和收敛性理论结论,并通过数值实验验证了该结论.
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    前言
    2020, 42 (3): 260-260.   DOI: 10.12286/jssx.2020.3.260
    摘要92)      PDF (108KB)(161)   
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    无单调性集值变分不等式的一种投影算法
    陈园
    2020, 42 (4): 435-444.   DOI: 10.12286/jssx.2020.4.435
    摘要85)      PDF (305KB)(90)   
    本文给出了求解无单调性集值变分不等式的一个新的投影算法,该算法所产生的迭代序列在Minty变分不等式解集非空且映射满足一定的连续性条件下收敛到解.对比文献[10]中的算法,本文中的算法使用了不同的线性搜索和半空间,在计算本文所引的两个数值例子时,该算法比文献[10]中的算法所需迭代步更少.
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